Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMatrisin Tersi ve Genelleştirilmiş Ters (Moore-Penrose)

Uygulamalı çok değişkenli analiz hesaplamalarında, tam ranklı olmayan matrislerin tersini alma işleminde Moore-Penrose genelleştirilmiş tersi kullanılmaktadır. Boyutu n×nn \times n, rankı rr (0<r<n0 < r < n) olan singüler bir AA matrisi ve bu matrisin Moore-Penrose genelleştirilmiş tersi olan A+A^+ matrisi verilmiş olsun.

Bu iki matris kullanılarak elde edilen H=AA+H = A A^+ matrisi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Matris çarpımında değişme özelliği geçerli olduğundan, HH matrisi her zaman A+AA^+ A çarpımına eşittir.
  2. B
    HH matrisinin köşegen elemanlarının toplamı (izi), matrisin rankından bağımsız biçimde boyutunu gösteren nn değerine eşittir.
  3. HH matrisi idempotent bir özellikte olup, I˙z(H)=r\text{İz}(H) = r eşitliğini sağlar.Cevap
  4. D
    Orijinal matris ile genelleştirilmiş tersinin çarpımı birim matrisi üreteceğinden, HH matrisinin determinanti 1'dir.
  5. E
    HH matrisinin tüm özdeğerlerinin çarpımı ile özdeğerlerinin toplamı daima birbirine eşit çıkar.

Cevap

H matrisinin idempotent olması ve izinin r'ye eşit olması durumunu ifade eden seçenek.
Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin temel koşullarından biri olan A+AA+=A+A^+ A A^+ = A^+ eşitliği kullanıldığında, H=AA+H = A A^+ matrisinin karesi (AA+)(AA+)=A(A+AA+)=AA+(A A^+)(A A^+) = A (A^+ A A^+) = A A^+ sonucunu verir. Bu durum HH matrisinin idempotent olduğunu gösterir. İdempotent matrislerin teorik bir özelliği olarak matrisin izi (özdeğerlerinin toplamı), o matrisin rankına eşittir. Rank(AA+)=Rank(A)=r\text{Rank}(A A^+) = \text{Rank}(A) = r olduğu bilindiğine göre, I˙z(H)=r\text{İz}(H) = r ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Moore-Penrose'un birinci ve ikinci koşulunu uygulama
AA+A=AA A^+ A = A ve A+AA+=A+A^+ A A^+ = A^+ kurallarını birleştirerek (AA+)2=AA+AA+(A A^+)^2 = A A^+ A A^+ işlemini yapma.
HH matrisinin özelliklerini belirlemek için matrisin karesinin kendisine eşit olup olmadığını kontrol etmek.
2
Matrisin idempotent olduğunu belirleme
(AA+)(AA+)=A(A+AA+)=AA+(A A^+) (A A^+) = A (A^+ A A^+) = A A^+, dolayısıyla H2=HH^2 = H elde edilir.
Bir matrisin karesi kendisine eşitse o matris idempotenttir.
3
İdempotent matrisin iz kuralını uygulama
İdempotent matrislerde I˙z(H)=Rank(H)\text{İz}(H) = \text{Rank}(H) eşitliği geçerlidir. Rank(AA+)=Rank(A)=r\text{Rank}(A A^+) = \text{Rank}(A) = r olduğundan I˙z(H)=r\text{İz}(H) = r bulunur.
Doğru ifadedeki iz ve rank ilişkisini kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Moore-Penrose Genelleştirilmiş Tersin Özellikleri ve İdempotent Matrisler
Bu soruyu puanla

Konular

Matrisin Tersi ve Genelleştirilmiş Ters (Moore-Penrose)

Bu konudan daha fazla soru