Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMatrisin Tersi ve Genelleştirilmiş Ters (Moore-Penrose)

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde verilerin modellenmesi aşamasında, n×pn \times p boyutlu (n>pn > p) ve rankı r<pr < p olan (sütun tam ranklı olmayan) singüler bir XX veri matrisi ile çalışıldığı varsayılsın. Bu matrisin Moore-Penrose genelleştirilmiş tersi X+X^+ ile gösterilmektedir.

Buna göre, Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin temel özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. XX+X X^+ ve X+XX^+ X matrislerinin her ikisi de simetrik ve idempotent matrisler olup, bu matrislerin izleri (trace) XX matrisinin rankına (rr) eşittir.Cevap
  2. B
    Matris çarpımında değişme özelliği genelleştirilmiş tersler için de geçerli olduğundan, matrisin boyutlarından bağımsız olarak XX+=X+XX X^+ = X^+ X eşitliği sağlanır.
  3. C
    XX matrisi tam ranklı olmadığından determinantı sıfırdır; bu özelliğin bir sonucu olarak XX+X X^+ çarpım matrisinin izi (trace) de sıfıra eşittir.
  4. D
    Kare formların özellikleri ve matris çarpımının değişme kuralları gereğince, her zaman (XX+)2=X2(X+)2(X X^+)^2 = X^2 (X^+)^2 biçiminde yazılarak işlemler sadeleştirilebilir.
  5. E
    X+X^+ matrisinin benzersiz (tek) olarak hesaplanabilmesi için, XTXX^T X kare matrisinin izi ile determinantının birbirine eşit ve sıfırdan farklı olması zorunludur.

Cevap

XX+X X^+ ve X+XX^+ X matrislerinin her ikisi de simetrik ve idempotent matrisler olup, bu matrislerin izleri (trace) XX matrisinin rankına (rr) eşittir.
Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin tanımı gereği 4 temel koşul vardır: XX+X=XX X^+ X = X, X+XX+=X+X^+ X X^+ = X^+, (XX+)T=XX+(X X^+)^T = X X^+ ve (X+X)T=X+X(X^+ X)^T = X^+ X. Üçüncü ve dördüncü koşullar doğrudan bu matrislerin simetrik olduğunu gösterir. İlk koşul kullanılarak (XX+)(XX+)=XX+(X X^+)(X X^+) = X X^+ elde edilir, bu da matrisin idempotent (dik izdüşüm) olduğunu kanıtlar. İdempotent matrislerin en önemli özelliği izlerinin (trace) ranklarına eşit olmasıdır. XX+X X^+ ve X+XX^+ X matrislerinin rankı, XX matrisinin rankı olan rr'ye eşit olduğundan, her iki matrisin izi de matematiksel olarak rr'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Moore-Penrose'un üçüncü ve dördüncü koşullarını (simetri) değerlendirme.
(XX+)T=XX+(X X^+)^T = X X^+ ve (X+X)T=X+X(X^+ X)^T = X^+ X elde edilir.
Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin tanımı gereği bu iki matris çarpımı daima simetriktir.
2
Moore-Penrose'un birinci ve ikinci koşullarını kullanarak matrislerin idempotentliğini gösterme.
XX+X=XX X^+ X = X eşitliğinden yola çıkarak (XX+)(XX+)=XX+(X X^+)(X X^+) = X X^+ ve benzer şekilde (X+X)(X+X)=X+X(X^+ X)(X^+ X) = X^+ X bulunur.
Bir matrisin kendisiyle ardışık çarpımı yine kendisine eşitse, o matris idempotent (dik izdüşüm) matrisidir.
3
İdempotent matrislerin iz (trace) ve rank ilişkisini kurma.
İdempotent matrislerde köşegen elemanların toplamı olan iz, matrisin rankına eşittir. Yani I˙z(XX+)=Rank(XX+)\text{İz}(X X^+) = \text{Rank}(X X^+) olur.
İdempotent matrislerin özdeğerleri sadece 0 ve 1'den oluşur; özdeğerlerin toplamı (iz) doğal olarak sıfırdan farklı özdeğer sayısına (rank) eşittir.
4
XX+X X^+ matrisinin rankını XX matrisinin rankı cinsinden ifade etme.
X=XX+XX = X X^+ X olduğundan izdüşüm matrisinin rankı XX'in rankını aşamaz, Rank(XX+)=Rank(X)=r\text{Rank}(X X^+) = \text{Rank}(X) = r bulunur.
Böylece hem simetrik hem idempotent olan XX+X X^+ ve X+XX^+ X matrislerinin izlerinin tam olarak rr'ye eşit olduğu matematiksel olarak kanıtlanmış olur.

Anahtar Kavram

Moore-Penrose Genelleştirilmiş Tersinin Dik İzdüşüm ve İz (Trace) Özellikleri
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Matrisin Tersi ve Genelleştirilmiş Ters (Moore-Penrose)