Çok değişkenli istatistiksel analizlerde, eksik veriler veya çoklu bağlantı (multicollinea… — KPSS İstatistik

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde, eksik veriler veya çoklu bağlantı (multicollinearity) problemleri nedeniyle $p \times p$ boyutlu, rankı $r$ ( $r < p$ ) olan singüler (tersi alınamayan) bir $A$ matrisi elde edilmiştir. Bu matrisin denklemlerde kullanılabilmesi için Moore-Penrose genelleştirilmiş tersi ( $A^+$ ) hesaplanmıştır.

Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin cebirsel koşulları ve matris özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A
$A$ matrisi kare boyutlara ( $p \times p$ ) sahip olduğundan, genelleştirilmiş tersiyle yapılan $A A^+$ ve $A^+ A$ matris çarpımları her koşulda birbirine eşittir.
B
$A A^+$ çarpımı sonucunda elde edilen izdüşüm matrisinin izi (trace) her zaman matrisin boyutu olan $p$ 'ye eşittir.
Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin tanımı uyarınca, $A A^+$ matrisi simetrik olma özelliğine sahiptir ve $A A^+ A = A$ denklemi daima sağlanır.Cevap
D
Genelleştirilmiş ters alma işleminde $A^+$ matrisinin özdeğerleri, doğrudan $A$ 'nın özdeğerlerinin matrisin izine (trace) bölünmesiyle bulunur.
E
$A^+$ genelleştirilmiş tersinin matematiksel olarak bulunabilmesi için, $A$ matrisini oluşturan değişkenlerin varyanslarının standartlaştırılarak korelasyon formuna dönüştürülmesi zorunludur.

Cevap

Doğru ifade, Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin simetri ve kendisiyle çarpım koşullarını tanımlayan seçenektir.

Moore-Penrose genelleştirilmiş tersi, matris boyutu veya rankından bağımsız olarak dört temel koşulu sağlamak üzere tanımlanmış eşsiz (unique) bir matristir. Bu koşullardan ilki

A A^+ A = A

eşitliği, üçüncüsü ise

A A^+

çarpımının simetrik (

(A A^+)^T = A A^+

) olmasıdır. Doğru olan ifade bu iki evrensel koşulu tam ve doğru yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin temel koşullarını hatırlamak.

Dört koşul şunlardır: 1)

A A^+ A = A

, 2)

A^+ A A^+ = A^+

, 3)

(A A^+)^T = A A^+

, 4)

(A^+ A)^T = A^+ A

Soruda hangi ifadenin genelleştirilmiş ters için kesinlikle doğru olduğu sorulmaktadır.

Matris çarpımında değişme özelliğini ve izdüşüm matrislerinin izini değerlendirmek.

Kare matrisler genel olarak çarpımda değişme özelliğine sahip değildir (

A A^+ \neq A^+ A

). Ayrıca

A A^+

idempotent olduğundan izi rankına (

r

) eşittir, matrisin boyutuna (

p

) değil.

Çeldirici seçeneklerde yer alan hatalı çıkarımları ekarte etmek.

Cebirsel özellikler ile istatistiksel standartlaştırma adımlarını ayırt etmek.

A^+

özdeğerleri

1/\lambda

şeklindedir; ize bölme işlemi açıklanan varyans hesabıdır. Ayrıca genelleştirilmiş ters alma matematiksel bir işlem olup değişkenlerin önceden standartlaştırılmasını gerektirmez.

İstatistiksel analizlerdeki ön işleme adımlarıyla matris cebiri kavramlarının karıştırılmasını önlemek.

Anahtar Kavram

Moore-Penrose Genelleştirilmiş Tersinin Özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru