Examkin

Soru

Zorluk: ZorMatrisin Tersi ve Genelleştirilmiş Ters (Moore-Penrose)

İstatistiksel veri matrislerinin cebirsel işlemlerinde, satır sayısı sütun sayısından farklı (n≠pn \neq p) ve doğrusal bağımlı sütunlara sahip (rank(A)=r<min⁡(n,p)rank(A) = r < \min(n, p)) bir AA matrisinin tersi standart yöntemlerle alınamaz. Bu tür eksik ranklı ve dikdörtgen matrisler için Moore-Penrose genelleştirilmiş tersi (A+A^+) tanımlanır.

Buna göre, Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin matematiksel tanımını oluşturan temel koşullar ve izdüşüm matrisi özellikleri birlikte değerlendirildiğinde, aşağıdaki eşitliklerden hangisinin her zaman sağlandığı söylenebilir?

  1. A
    AA+=A+AA A^+ = A^+ A
  2. B
    iz(A+A)=p\text{iz}(A^+ A) = p
  3. A+AA+=A+A^+ A A^+ = A^+Cevap
  4. D
    (AA+)′=A+A(A A^+)' = A^+ A
  5. E
    det(AA+)=1\text{det}(A A^+) = 1

Cevap

Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin ikinci temel koşulu olan A+AA+=A+A^+ A A^+ = A^+ eşitliği her zaman doğrudur.
Moore-Penrose genelleştirilmiş tersinin benzersiz (tek) olmasını sağlayan dört temel teorem koşulu (Penrose denklemleri) bulunur. Bunlar; AA+A=AA A^+ A = A, A+AA+=A+A^+ A A^+ = A^+, (AA+)′=AA+(A A^+)' = A A^+ ve (A+A)′=A+A(A^+ A)' = A^+ A eşitlikleridir. Doğru ifade bu temel tanımlayıcı denklemlerden ikincisini doğrudan yansıtmaktadır ve matrisin rankından veya boyutundan bağımsız olarak daima geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve A+A^+ matrislerinin boyutlarını belirleme
AA matrisi n×pn \times p boyutlu ise, A+A^+ matrisi p×np \times n boyutludur.
Genelleştirilmiş ters, orijinal matrisin boyutlarının ters çevrilmiş halidir.
2
Seçeneklerdeki matris çarpımlarının boyutlarını analiz etme
AA+A A^+ matrisi n×nn \times n, A+AA^+ A matrisi ise p×pp \times p boyutludur.
Matris boyutlarındaki bu farklılık, AA+=A+AA A^+ = A^+ A veya (AA+)′=A+A(A A^+)' = A^+ A gibi doğrudan eşitlik kuran ifadelerin yanlış olduğunu ispatlar.
3
Çarpım matrislerinin rank ve iz/determinant özelliklerini değerlendirme
AA+A A^+ ve A+AA^+ A idempotent matrislerdir. İzleri ranklarına (rr) eşittir. Eksik ranklı (r<nr < n) oldukları için determinantları 00'dır.
İdempotent matrislerin özellikleri kullanılarak iz ve determinant ile ilgili verilen eşitliklerin geçerliliği test edilir.
4
Moore-Penrose temel koşullarını (Penrose Denklemleri) hatırlama
Dört temel koşuldan biri olan A+AA+=A+A^+ A A^+ = A^+ ifadesinin seçeneklerde yer aldığı tespit edilir.
Moore-Penrose tersi, sadece bu dört özel koşulu aynı anda sağlayan yegane matristir.

Anahtar Kavram

Matrisin boyut analizi, idempotent matrislerin iz/determinant özellikleri ve Moore-Penrose koşulları
Bu soruyu puanla

Konular

Matrisin Tersi ve Genelleştirilmiş Ters (Moore-Penrose)

Bu konudan daha fazla soru