Examkin

Soru

Zorluk: Kolay(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bir üniversite kütüphanesinin ödünç verme bankosunda tek bir memur görev yapmaktadır. Bankoya kitap iade etmek için gelen öğrencilerin varışları saatte ortalama 1212 kişi (λ=12\lambda = 12) olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Memurun bir iade işlemini gerçekleştirme süresinin ortalaması 33 dakika, bu sürenin standart sapması ise 44 dakikadır. Buna göre, (M/G/1) kuyruk modeli varsayımı altında, kuyrukta bekleyen ortalama öğrenci sayısı (LqL_q) kaçtır?

  1. 1,25Cevap
  2. B
    0,90
  3. C
    0,65
  4. D
    2,50
  5. E
    6,25

Cevap

Pollaczek-Khinchine formülü ve birim dönüşümleri uygulandığında kuyrukta bekleyen ortalama öğrenci sayısı 1,25 olarak bulunur.
Verilen problemde varışlar Poisson (λ=0,2\lambda = 0,2 kişi/dakika) ve hizmet süreleri genel bir dağılıma (E[S]=3,σ2=16E[S]=3, \sigma^2=16) sahip olduğundan (M/G/1) modeli geçerlidir. Pollaczek-Khinchine formülü olan Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1 - \rho)} ifadesinde değerler yerine koyulduğunda sonuç 1,25 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri aynı zaman birimine (dakika) dönüştürerek belirleyin.
Varış hızı λ=12\lambda = 12 kişi/saat = 0,20,2 kişi/dakika; Ortalama hizmet süresi E[S]=3E[S] = 3 dakika; Standart sapma σ=4\sigma = 4 dakika →\rightarrow varyans σ2=16\sigma^2 = 16 dakika 2^2.
Kuyruk formüllerinde tüm zaman birimlerinin tutarlı olması zorunludur.
2
Sistem kullanım oranını (trafik yoğunluğu) hesaplayın.
ρ=λ×E[S]=0,2×3=0,6\rho = \lambda \times E[S] = 0,2 \times 3 = 0,6.
Sistemin kararlı olup olmadığını ve formüldeki bekleme bileşenlerini bulmak için ρ\rho değeri gereklidir.
3
Pollaczek-Khinchine formülünü uygulayarak kuyruk uzunluğunu bulun.
Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)=(0,2)2×16+(0,6)22(1−0,6)=0,04×16+0,360,8=0,64+0,360,8=10,8=1,25L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1 - \rho)} = \frac{(0,2)^2 \times 16 + (0,6)^2}{2(1 - 0,6)} = \frac{0,04 \times 16 + 0,36}{0,8} = \frac{0,64 + 0,36}{0,8} = \frac{1}{0,8} = 1,25.
(M/G/1) modellerinde beklenen kuyruk uzunluğu bu genel formül ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü
Bu soruyu puanla

Konular

(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bu konudan daha fazla soru