Examkin

Soru

Zorluk: Orta(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bir kamu kurumunun evrak kayıt birimine gelen mükelleflerin varışları, saatte ortalama 6 kişi (λ=6\lambda = 6) olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Kayıt işlemleri tek bir memur tarafından gerçekleştirilmekte olup, işlem süreleri genel bir dağılıma (M/G/1M/G/1) sahiptir. Ortalama işlem süresi 8 dakika, işlem sürelerinin standart sapması ise 4 dakikadır.

Buna göre, bu kuyruk sisteminde bekleyen (kuyruktaki) ortalama mükellef sayısı (LqL_q) kaçtır?

  1. A
    1,6
  2. 2,0Cevap
  3. C
    2,4
  4. D
    2,8
  5. E
    3,2

Cevap

Kuyruktaki ortalama mükellef sayısı 2,0'dır.
Sistem parametreleri λ=6\lambda=6, ρ=0,8\rho=0,8 ve hizmet süresi varyansı σ2=1/225\sigma^2=1/225 olarak belirlenmiştir. Bu değerler Pollaczek-Khinchine formülünde yerine yazıldığında, payda yer alan λ2σ2+ρ2\lambda^2\sigma^2 + \rho^2 ifadesi 0,800,80 değerini, paydada yer alan 2(1−ρ)2(1-\rho) ifadesi ise 0,400,40 değerini verir. Bölme işlemi sonucunda kuyruktaki ortalama mükellef sayısı 2,0 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kuyruk sistemi parametrelerini aynı zaman birimi (saat) üzerinden belirleyiniz.
λ=6\lambda = 6 kişi/saat. Ortalama hizmet süresi E[S]=8E[S] = 8 dakika =8/60=2/15= 8/60 = 2/15 saat. Hizmet hızı μ=1/E[S]=7,5\mu = 1/E[S] = 7,5 kişi/saat. Sistem yoğunluğu ρ=λ/μ=6/7,5=0,8\rho = \lambda/\mu = 6/7,5 = 0,8.
Pollaczek-Khinchine formülünde kullanılacak hız ve yoğunluk değerlerinin birim uyuşmazlığına yol açmaması için saatlik bazda hesaplanması gerekir.
2
Hizmet süresinin varyansını hesaplayınız.
Standart sapma σ=4\sigma = 4 dakika =4/60=1/15= 4/60 = 1/15 saattir. Varyans σ2=(1/15)2=1/225\sigma^2 = (1/15)^2 = 1/225 saat 2^2.
M/G/1M/G/1 kuyruk modellerinde performans ölçütleri hizmet süresi varyansına doğrudan bağımlıdır.
3
Pollaczek-Khinchine (P-K) formülünü uygulayarak LqL_q değerini bulunuz.
Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)=62⋅(1/225)+0,822(1−0,8)=36/225+0,640,4=0,16+0,640,4=0,800,4=2,0L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{6^2 \cdot (1/225) + 0,8^2}{2(1-0,8)} = \frac{36/225 + 0,64}{0,4} = \frac{0,16 + 0,64}{0,4} = \frac{0,80}{0,4} = 2,0.
P-K formülü, genel hizmet süreli tek kanallı kuyruk sistemlerinde kuyruktaki ortalama birim sayısını verir.

Anahtar Kavram

Pollaczek-Khinchine (P-K) Formülü

Alternatif Yöntem

Önce kuyrukta bekleme süresi (WqW_q) formülü kullanılıp, ardından Little Teoremi (Lq=λWqL_q = \lambda W_q) yardımıyla kuyruk uzunluğuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bu konudan daha fazla soru