Examkin

Soru

Zorluk: Orta(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bir belediyenin emlak vergisi tahsilat veznesinde tek bir memur hizmet vermektedir. Vezneye mükellef varışları saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Veznedeki hizmet süreleri ise genel bir dağılım göstermekte olup sistem parametreleri aşağıda verilmiştir:

ParametreDeğer
Ortalama varış hızı (λ\lambda)44 mükellef/saat
Ortalama hizmet süresi (E[S]E[S])1010 dakika
Hizmet süresi standart sapması (σ\sigma)55 dakika

Buna göre, (M/G/1)(M/G/1) kuyruk modeli varsayımı altında, sisteme gelen bir mükellefin kuyrukta bekleyerek geçirdiği ortalama süre (WqW_q) kaç dakikadır?

  1. A
    10,0
  2. 12,5Cevap
  3. C
    20,0
  4. D
    22,5
  5. E
    25,0

Cevap

Kuyrukta beklenen ortalama süre 12,512,5 dakikadır.
Kuyrukta beklenen ortalama süre, hizmet sürelerinin hem ortalamasına hem de varyansına bağlı olan Pollaczek-Khinchine formülü ile hesaplanır. Verilen değerler formüle yerleştirildiğinde (λ=1/15\lambda=1/15, E[S]=10E[S]=10, σ=5\sigma=5, ρ=2/3\rho=2/3), bekleme süresi 12,512,5 dakika olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim dönüşümü ve varış hızının belirlenmesi
λ=4\lambda = 4 kişi/saat →λ=460=115\rightarrow \lambda = \frac{4}{60} = \frac{1}{15} kişi/dakika
Hesaplamaların dakika cinsinden istenmesi nedeniyle tüm parametreler aynı zaman birimine çevrilmelidir.
2
Kullanım oranının (ρ\rho) hesaplanması
ρ=λ×E[S]=115×10=23\rho = \lambda \times E[S] = \frac{1}{15} \times 10 = \frac{2}{3}
Sistemin kararlılığını ve doluluk oranını belirlemek için kullanım faktörü gereklidir.
3
Pollaczek-Khinchine (P-K) formülünün uygulanması
Wq=λ(E[S]2+σ2)2(1−ρ)=115(102+52)2(1−23)=125152(13)=25323=12,5W_q = \frac{\lambda (E[S]^2 + \sigma^2)}{2(1 - \rho)} = \frac{\frac{1}{15} (10^2 + 5^2)}{2(1 - \frac{2}{3})} = \frac{\frac{125}{15}}{2(\frac{1}{3})} = \frac{\frac{25}{3}}{\frac{2}{3}} = 12,5 dakika
Hizmet süreleri üstel dağılmadığında (genel dağılım), kuyruk bekleme süresi P-K formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Pollaczek-Khinchine formülü, (M/G/1)(M/G/1) modellerinde hizmet süresinin varyansının kuyruk uzunluğu ve bekleme süresi üzerindeki etkisini açıklar.

İpuçları

1
Soruda hizmet sürelerinin genel (GG) bir dağılım olduğu belirtildiğinden Pollaczek-Khinchine formülünü kullanmalısınız.
2
Varış hızı saatlik verildiği için önce dakikaya çevirin: λ=4/60=1/15\lambda = 4/60 = 1/15.
3
Wq=[λ(E[S]2+σ2)]/[2(1−ρ)]W_q = [\lambda(E[S]^2 + \sigma^2)] / [2(1-\rho)] formülünde ρ=λ×E[S]\rho = \lambda \times E[S] değerini kullanarak hesaplama yapın.

Daha Fazla Pratik

Eğer hizmet süresi varyansı sıfır olsaydı (sabit hizmet süresi - M/D/1), bekleme süresinin nasıl değişeceğini hesaplayınız.

Alternatif Yöntem

Önce kuyruktaki ortalama müşteri sayısını (LqL_q) hesaplayıp ardından Little teoremi (Wq=Lq/λW_q = L_q / \lambda) ile zamana geçiş yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bu konudan daha fazla soru