Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTersinirlik Kavramı ve Koşulları

Zaman serisi modellerinde, bir Hareketli Ortalama (MA) sürecinin sonsuz dereceli bir Otoregresif (AR) süreç olarak ifade edilebilmesini sağlayan 'tersinirlik' (invertibility) özelliği, modelin öngörü kabiliyeti açısından kritik öneme sahiptir.

ϵt∼WN(0,σ2)\epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2) beyaz gürültü süreci olmak üzere, bir zaman serisi süreci şu şekilde tanımlanmıştır:
Xt=ϵt−1,2ϵt−1+0,35ϵt−2X_t = \epsilon_t - 1,2 \epsilon_{t-1} + 0,35 \epsilon_{t-2}

Buna göre, verilen sürecin tersinirlik durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında yer aldığı için süreç tersinirdir.Cevap
  2. B
    Katsayıların mutlak değerleri toplamı 1'den büyük olduğu için süreç tersinir değildir.
  3. C
    Birinci gecikme katsayısı mutlak değerce 1'den büyük (∣1,2∣>1|1,2| > 1) olduğu için süreç tersinir değildir.
  4. D
    Tüm sonlu hareketli ortalama süreçleri gibi bu süreç de otomatik olarak tersinirdir.
  5. E
    Karakteristik denklemin kökleri birim çemberin içinde yer aldığı için süreç tersinir değildir.

Cevap

Süreç tersinirdir çünkü karakteristik denklemin her iki kökü de (z1=2z_1 = 2 ve z2=1,43z_2 = 1,43) birim çemberin dışında kalmaktadır.
Verilen Xt=ϵt−1,2ϵt−1+0,35ϵt−2X_t = \epsilon_t - 1,2 \epsilon_{t-1} + 0,35 \epsilon_{t-2} sürecinde karakteristik kökler 22 ve 1,431,43 olarak hesaplanmıştır. Bu değerlerin her ikisi de mutlak değerce 1'den büyük olduğu (∣z∣>1|z| > 1) için süreç tersinirlik koşulunu tam olarak sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Sürecin MA operatörü cinsinden karakteristik denklemini yazın.
1−1,2z+0,35z2=01 - 1,2z + 0,35z^2 = 0
Tersinirlik analizi, MA(q) polinomunun köklerinin birim çember ile ilişkisine dayanır.
2
Karakteristik denklemin köklerini (zz) hesaplayın.
z1,2=1,2±(−1,2)2−4(0,35)(1)2(0,35)=1,2±1,44−1,400,70=1,2±0,20,7z_{1,2} = \frac{1,2 \pm \sqrt{(-1,2)^2 - 4(0,35)(1)}}{2(0,35)} = \frac{1,2 \pm \sqrt{1,44 - 1,40}}{0,70} = \frac{1,2 \pm 0,2}{0,7} buradan z1=2z_1 = 2 ve z2=10/7≈1,43z_2 = 10/7 \approx 1,43
Köklerin sayısal değerleri, tersinirlik koşulunun sağlanıp sağlanmadığını belirler.
3
Köklerin mutlak değerlerini birim çember yarıçapı (1) ile kıyaslayın.
∣2∣>1|2| > 1 ve ∣1,43∣>1|1,43| > 1
Tüm köklerin birim çemberin dışında (∣z∣>1|z| > 1) olması sürecin tersinir olması için gerekli ve yeterli koşuldur.

Anahtar Kavram

Bir MA(q) sürecinin tersinir olması için θ(z)=0\theta(z) = 0 karakteristik denkleminin tüm köklerinin karmaşık düzlemde birim çemberin dışında yer alması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tersinirlik Kavramı ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru