Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKesin ve Zayıf Durağanlık

Bir {Xt}\{X_t\} stokastik süreci için her tt anında beklenen değerin E[Xt]=μE[X_t] = \mu ve otokovaryans fonksiyonunun Cov(Xt,Xt+k)=γkCov(X_t, X_{t+k}) = \gamma_k (yalnızca gecikmeye bağlı) olduğu; ancak sürecin yüksek dereceli momentlerinden biri olan E[Xt3]E[X_t^3] değerinin zamana (tt) bağlı olarak değişim gösterdiği saptanmıştır. Buna göre, bu sürece ilişkin aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

  1. Süreç zayıf (kovaryans) durağandır ancak kesin durağan değildir.Cevap
  2. B
    Süreç kesin durağandır ancak zayıf durağanlık koşullarını sağlamaz.
  3. C
    Süreç ne zayıf ne de kesin durağanlık koşullarını sağlamaktadır.
  4. D
    Sürecin üçüncü momenti sabit olmadığı için zayıf durağanlık koşulu bozulmuştur.
  5. E
    Sürecin otokovaryansı sadece gecikmeye bağlı olduğu için süreç her zaman kesin durağandır.

Cevap

Sürecin birinci ve ikinci dereceden momentleri (ortalama ve otokovaryans) zamandan bağımsız olduğu için süreç zayıf durağandır; fakat üçüncü dereceden momenti zamana bağlı olduğu için kesin durağan değildir.
Verilen bilgilere göre sürecin beklenen değeri (μ\mu) ve otokovaryansı (γk\gamma_k) zamandan bağımsızdır; bu durum zayıf durağanlık için yeterli ve gerekli koşulları sağlar. Ancak kesin durağanlık, sürecin tüm istatistiksel yapısının zaman kaymasına karşı değişmez olmasını gerektirir. Üçüncü dereceden moment olan çarpıklık bilgisinin (E[Xt3]E[X_t^3]) zamana göre değişmesi, sürecin olasılık dağılımının zamanla değiştiği anlamına gelir ve kesin durağanlığı imkansız kılar.

Adım Adım Çözüm

1
Zayıf durağanlık koşullarını kontrol et.
E[Xt]=μE[X_t] = \mu ve Cov(Xt,Xt+k)=γkCov(X_t, X_{t+k}) = \gamma_k olduğu için süreç zayıf (kovaryans) durağandır.
Zayıf durağanlık tanımı gereği sürecin ilk iki momenti zamana göre sabit kalmalıdır.
2
Kesin durağanlık koşullarını yüksek dereceli moment üzerinden değerlendir.
E[Xt3]E[X_t^3] değerinin zamana göre değişmesi, sürecin eklemli olasılık dağılımının zaman kaymalarından etkilendiğini gösterir.
Kesin durağanlık, sürecin tüm istatistiksel özelliklerinin (tüm momentler ve dağılım yapısı) zamandan bağımsız olmasını gerektirir.
3
İki durağanlık türü arasındaki ilişkiyi sentezle.
Süreç zayıf durağanlık şartını sağlarken kesin durağanlık şartını sağlayamaz.
Üçüncü momentin zamana bağlılığı zayıf durağanlığı bozmaz (çünkü tanıma dahil değildir) ama kesin durağanlığı kesinlikle bozar.

Anahtar Kavram

Zayıf durağanlık sadece ilk iki momentin (ortalama ve otokovaryans) zamanla değişmemesini gerektirirken; kesin durağanlık, sürecin tüm olasılık dağılımının ve mevcut olan tüm momentlerinin zamandan bağımsız olmasını şart koşar.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesin ve Zayıf Durağanlık

Bu konudan daha fazla soru