Examkin

Temel Kavramlar ve Stokastik Süreçler

98 soru

Soru 1Soru →

Zaman serileri analizinde {Xt}\{X_t\} stokastik sürecinin zayıf durağanlık (kovaryans durağanlığı) özelliklerini taşıyabilmesi için temel istatistiksel momentlerin zamandan bağımsız olması gerekmektedir.

Buna göre, {Xt}\{X_t\} sürecinin zayıf durağan kabul edilebilmesi için sağlanması gereken temel şartlardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Otokovaryans fonksiyonunun değerinin zamandan (tt) bağımsız, sadece gecikme miktarına (kk) bağlı olması

Cevap

Otokovaryans fonksiyonunun değerinin zamandan bağımsız olarak sadece gecikme miktarına bağlı olmasıdır.
Zayıf durağanlık (kovaryans durağanlığı), bir stokastik sürecin ortalamasının ve varyansının zaman boyunca sabit kalmasını, iki zaman noktası arasındaki otokovaryansın ise sadece bu noktalar arasındaki uzaklığa (gecikmeye) bağlı olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1
Zayıf durağanlık (kovaryans durağanlığı) tanımını analiz et.
Bir sürecin zayıf durağan olması için; beklenen değerinin sabit (E[Xt]=μE[X_t] = \mu), varyansının sabit (Var(Xt)=σ2<∞Var(X_t) = \sigma^2 < \infty) ve otokovaryansının sadece gecikmeye bağlı (Cov(Xt,Xt+k)=γkCov(X_t, X_{t+k}) = \gamma_k) olması gerekir.
Zayıf durağanlık tanımı, sürecin ilk iki momentinin zamandan bağımsız olmasını şart koşar.
2
Seçeneklerdeki ifadeleri bu şartlarla karşılaştır.
Otokovaryansın sadece gecikme miktarına (kk) bağlı olması ifadesi, zayıf durağanlık tanımıyla birebir örtüşmektedir.
Durağanlık türlerini birbirinden ayıran temel fark, kısıtların momentler üzerinde mi yoksa tüm dağılım üzerinde mi olduğudur.

Anahtar Kavram

Zayıf durağanlık için otokovaryans zamandan bağımsız, sadece gecikmeye bağlıdır.
Soru 2Soru →

Zaman serileri analizinde seriyi durağanlaştırmak amacıyla kullanılan fark operatörü (∇\nabla) ile gecikme operatörü (LL) arasında ∇=1−L\nabla = 1 - L ilişkisi bulunmaktadır. Buna göre, bir {Yt}\{Y_t\} zaman serisine uygulanan ikinci dereceden fark işleminin (∇2Yt\nabla^2 Y_t) gecikme operatörü cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (1−2L+L2)Yt(1 - 2L + L^2)Y_t

Cevap

İkinci dereceden fark operatörünün gecikme operatörü cinsinden ifadesi (1−2L+L2)Yt(1 - 2L + L^2)Y_t şeklindedir.
İkinci dereceden fark operatörü ∇2\nabla^2 olarak gösterilir ve ∇=1−L\nabla = 1 - L olduğu bilindiğine göre ∇2=(1−L)2\nabla^2 = (1-L)^2 olur. Bu ifadenin cebirsel açılımı 12−2(1)(L)+L2=1−2L+L21^2 - 2(1)(L) + L^2 = 1 - 2L + L^2 şeklinde sonuçlanır. Bu operatör YtY_t serisine uygulandığında Yt−2Yt−1+Yt−2Y_t - 2Y_{t-1} + Y_{t-2} ifadesini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fark operatörünün gecikme operatörü cinsinden temel tanımını yazın.
∇=1−L\nabla = 1 - L
Birinci dereceden fark işlemi, serinin kendisi ile bir önceki dönemi arasındaki farktır: Yt−Yt−1=(1−L)YtY_t - Y_{t-1} = (1-L)Y_t.
2
İkinci dereceden fark işlemini operatör cinsinden ifade edin.
∇2=(1−L)2\nabla^2 = (1 - L)^2
İkinci dereceden fark, birinci dereceden farkın tekrar farkının alınmasıdır: ∇(∇Yt)\nabla(\nabla Y_t).
3
Parantez içindeki tam kare ifadeyi açın.
(1−L)2=1−2L+L2(1 - L)^2 = 1 - 2L + L^2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 özdeşliği uygulanır.
4
Elde edilen operatörü zaman serisine uygulayın.
(1−2L+L2)Yt=Yt−2Yt−1+Yt−2(1 - 2L + L^2)Y_t = Y_t - 2Y_{t-1} + Y_{t-2}
Operatörün her bir terimi seriye dağıtılır.

Anahtar Kavram

Operatör cebiri ve tam kare açılımı arasındaki ilişki.

Alternatif Yöntem

Operatörü doğrudan seri üzerinde uygulayarak da bulabilirsiniz: ∇Yt=Yt−Yt−1\nabla Y_t = Y_t - Y_{t-1} ise ∇2Yt=∇(Yt−Yt−1)=(Yt−Yt−1)−(Yt−1−Yt−2)=Yt−2Yt−1+Yt−2\nabla^2 Y_t = \nabla(Y_t - Y_{t-1}) = (Y_t - Y_{t-1}) - (Y_{t-1} - Y_{t-2}) = Y_t - 2Y_{t-1} + Y_{t-2}. Buradan operatör katsayılarını çıkarabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Zaman serileri analizinde kullanılan LL gecikme operatörü ve ∇\nabla fark operatörü arasındaki temel ilişki dikkate alındığında, ∇(1−L2)yt\nabla (1 - L^2)y_t işleminin açık yazımı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: yt−yt−1−yt−2+yt−3y_t - y_{t-1} - y_{t-2} + y_{t-3}

Cevap

İşlemin açık yazımı yt−yt−1−yt−2+yt−3y_t - y_{t-1} - y_{t-2} + y_{t-3} şeklindedir.
Verilen işlemde ∇\nabla yerine 1−L1-L yazıldığında (1−L)(1−L2)(1-L)(1-L^2) çarpımı elde edilir. Bu polinomun açılımı 1−L−L2+L31 - L - L^2 + L^3 şeklindedir. Operatörler yty_t serisine uygulandığında yt−yt−1−yt−2+yt−3y_t - y_{t-1} - y_{t-2} + y_{t-3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fark operatörü ile gecikme operatörü arasındaki ilişkiyi yerine koyun.
∇=1−L\nabla = 1 - L olduğu için ifade (1−L)(1−L2)yt(1 - L)(1 - L^2) y_t halini alır.
Tüm operatörlerin aynı cinsten (gecikme operatörü LL) ifade edilmesi işlemi kolaylaştırır.
2
Operatör polinomlarının çarpımını gerçekleştirin.
(1−L)(1−L2)=1(1−L2)−L(1−L2)=1−L2−L+L3(1 - L)(1 - L^2) = 1(1 - L^2) - L(1 - L^2) = 1 - L^2 - L + L^3
Dağılma özelliği kullanılarak birleşik operatör yapısı elde edilir.
3
Elde edilen operatörü yty_t serisine uygulayın.
yt−Lyt−L2yt+L3yt=yt−yt−1−yt−2+yt−3y_t - L y_t - L^2 y_t + L^3 y_t = y_t - y_{t-1} - y_{t-2} + y_{t-3}
Lkyt=yt−kL^k y_t = y_{t-k} tanımı gereği seri terimleri geciktirilir.

Anahtar Kavram

Operatör Cebiri ve Gecikme-Fark İlişkisi

İpuçları

1
Fark operatörü ∇\nabla ile gecikme operatörü LL arasındaki ∇=1−L\nabla = 1 - L eşitliğini kullanın.
2
İfadeyi (1−L)(1−L2)(1 - L)(1 - L^2) şeklinde yazdıktan sonra parantezleri dağıtarak bir polinom elde edin.
3
L3ytL^3 y_t teriminin önündeki işaretin (−L)×(−L2)(-L) \times (-L^2) işleminden geldiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

İkinci dereceden fark operatörü ∇2\nabla^2 ile (1−L2)(1-L^2) operatörü arasındaki yapısal farkı inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Önce (1−L2)yt=yt−yt−2(1-L^2)y_t = y_t - y_{t-2} işlemini yapıp, ardından bu sonuca ∇\nabla operatörünü uygulayabilirsiniz: ∇(yt−yt−2)=(yt−yt−2)−(yt−1−yt−3)=yt−yt−1−yt−2+yt−3\nabla(y_t - y_{t-2}) = (y_t - y_{t-2}) - (y_{t-1} - y_{t-3}) = y_t - y_{t-1} - y_{t-2} + y_{t-3}.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

Zayıf durağan (kovaryans durağan) bir {Xt}\{X_t\} zaman serisi süreci için otokovaryans fonksiyonu γ(k)=Cov(Xt,Xt−k)\gamma(k) = Cov(X_t, X_{t-k}) şeklinde tanımlanmaktadır. Buna göre, otokovaryans fonksiyonunun özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Otokovaryans fonksiyonunun tanımlı olabilmesi ve sadece kk gecikmesine bağlı olması için sürecin kesin (tam) durağan olması zorunludur.

Cevap

Otokovaryans fonksiyonunun sadece gecikme miktarı olan k değerine bağlı olması için zayıf durağanlık (kovaryans durağanlığı) yeterli olup kesin durağanlık bir zorunluluk değildir.
Durağan bir zaman serisinde otokovaryans fonksiyonunun (γ(k)\gamma(k)) sadece gecikme miktarı olan kk değerine bağlı olması, 'zayıf durağanlık' (veya kovaryans durağanlığı) tanımının temelidir. Kesin durağanlık ise serinin tüm istatistiksel momentlerinin ve dağılımının zamandan bağımsız olmasını gerektiren daha ağır bir koşuldur. Dolayısıyla, otokovaryans özelliklerinin sağlanması için zayıf durağanlık yeterlidir.

Adım Adım Çözüm

1
Zayıf durağanlık ve kesin durağanlık tanımlarını karşılaştır.
Zayıf durağanlık; sabit ortalama, sabit varyans ve gecikmeye bağlı kovaryans gerektirir.
Otokovaryans fonksiyonu zayıf durağanlığın temel bileşenlerinden biridir.
2
Otokovaryans fonksiyonunun (γ(k)\gamma(k)) temel özelliklerini kontrol et.
γ(0)=Var(Xt)≥0\gamma(0) = Var(X_t) \geq 0, γ(k)=γ(−k)\gamma(k) = \gamma(-k) (simetri) ve ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) (sınır) özellikleri sağlanmalıdır.
Bu özellikler durağan süreçlerin matematiksel yapısından kaynaklanır.
3
Kesin durağanlık gereksinimini analiz et.
Kesin durağanlık, serinin tüm ortak dağılım fonksiyonunun zamanla değişmemesini gerektirir; bu durum otokovaryansın varlığı için gerekli olandan çok daha fazlasıdır.
Zayıf durağanlık, otokovaryansın sadece gecikmeye bağlı olması için yeterli ve gerekli koşuldur.

Anahtar Kavram

Zayıf Durağanlık ve Otokovaryans İlişkisi

Daha Fazla Pratik

Otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) sınırlarını ve otokovaryans ile farkını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Zaman serileri analizinde LL gecikme operatörünü ve ∇\nabla fark operatörünü göstermektedir. Buna göre, ∇2yt+∇yt−1\nabla^2 y_t + \nabla y_{t-1} işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: yt−yt−1y_t - y_{t-1}

Cevap

yt−yt−1y_t - y_{t-1} ifadesi işlemin doğru sonucudur.
Verilen ifade operatör cinsinden yazıldığında (1−L)2yt+(1−L)Lyt(1-L)^2 y_t + (1-L)L y_t şeklindedir. Burada (1−L)(1-L) ortak parantezine alındığında (1−L)[(1−L)+L]yt=(1−L)[1]yt=∇yt(1-L)[(1-L) + L] y_t = (1-L)[1] y_t = \nabla y_t elde edilir. Bu da serinin birinci dereceden farkı olan 'serinin şimdiki değeri eksi bir önceki değeri' sonucuna ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Fark ve gecikme operatörü arasındaki ilişkiyi tanımla.
∇=1−L\nabla = 1 - L
Fark operatörü, serinin kendisi ile bir önceki dönemi arasındaki farkı temsil eder.
2
Birinci terimi (ikinci dereceden fark) genişlet.
∇2yt=(1−L)2yt=(1−2L+L2)yt=yt−2yt−1+yt−2\nabla^2 y_t = (1-L)^2 y_t = (1 - 2L + L^2) y_t = y_t - 2y_{t-1} + y_{t-2}
İkinci dereceden fark, fark operatörünün karesinin seriye uygulanmasıdır.
3
İkinci terimi (gecikmeli fark) genişlet.
∇yt−1=(1−L)yt−1=yt−1−yt−2\nabla y_{t-1} = (1-L) y_{t-1} = y_{t-1} - y_{t-2}
Fark operatörü t−1t-1 anındaki seriye uygulanmıştır.
4
İki terimi topla.
(yt−2yt−1+yt−2)+(yt−1−yt−2)=yt−yt−1(y_t - 2y_{t-1} + y_{t-2}) + (y_{t-1} - y_{t-2}) = y_t - y_{t-1}
yt−2y_{t-2} terimleri birbirini sadeleştirir ve −2yt−1+yt−1=−yt−1-2y_{t-1} + y_{t-1} = -y_{t-1} kalır.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde operatör cebiri, özellikle ∇=1−L\nabla = 1 - L ilişkisi ve polinom genişletme kuralları.
Soru 6Soru →

Zayıf durağan bir zaman serisi süreci için tanımlanan otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve özellikleri dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: pp. dereceden otoregresif süreç olan AR(p) için ACF grafiği pp gecikmesinden sonra aniden kesilerek sıfır değerini alır.

Cevap

Otoregresif süreçlerin (AR) otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) belirli bir gecikmeden sonra kesildiğini ifade eden seçenek yanlıştır; çünkü AR süreçlerinde ACF sönümlenirken, kesilme davranışı gösteren fonksiyon PACF'dir.
Otoregresif (AR) süreçlerde otokorelasyon fonksiyonu (ACF) asla aniden kesilmez; süreç durağan olduğu sürece katsayılar sıfıra doğru geometrik veya sinüzoidal bir şekilde azalır (sönümlenir). Aniden kesilme özelliği AR süreçleri için Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) için geçerlidir. Dolayısıyla, AR(p) süreçlerinde ACF'nin pp gecikmesinden sonra kesildiğini iddia eden ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
ACF'nin temel matematiksel özelliklerini hatırla.
ρ0=1\rho_0 = 1, simetri (ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k}) ve katsayı aralığı (−1≤ρk≤1-1 \leq \rho_k \leq 1) özellikleri tüm zayıf durağan süreçler için geçerlidir.
Otokorelasyon fonksiyonu, sürecin durağanlık varsayımı üzerine inşa edilmiş istatistiksel bir ölçüttür.
2
MA(q) ve AR(p) süreçleri için ACF davranışını karşılaştır.
MA(q) için ACF qq gecikmesinden sonra kesilir. AR(p) için ACF sıfıra doğru sönümlenir (asymptotically zero).
Süreçlerin Box-Jenkins metodolojisi ile kimliklendirilmesi bu temel ayrım üzerine kuruludur.
3
AR(p) süreci için aniden kesilme özelliğinin hangi fonksiyona ait olduğunu belirle.
AR(p) süreçlerinde pp gecikmesinden sonra aniden kesilen fonksiyon Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu'dur (PACF).
ACF ve PACF arasındaki bu tersinir davranış (duality), AR ve MA modellerini birbirinden ayırmayı sağlar.

Anahtar Kavram

ACF ve PACF'nin AR/MA süreçlerindeki karakteristik davranış farkları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →

Zayıf durağan bir stokastik süreçte, serinin kendi geçmiş değerleriyle olan ilişkisini ve bağımlılık yapısını analiz etmek için kullanılan otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ACF, iki zaman noktası arasındaki ilişkiyi hesaplarken aradaki diğer gecikmeli terimlerin etkisini kontrol ederek saf korelasyonu ölçer.

Cevap

Otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) iki değişken arasındaki ilişkiyi aradaki diğer gecikmeli terimlerin etkisinden arındırarak ölçtüğünü belirten ifade yanlıştır.
Otokorelasyon fonksiyonu (ACF), YtY_t ile Yt−kY_{t-k} arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçerken aradaki terimleri sabit tutmaz veya etkilerini arındırmaz. Bu 'arındırma' veya 'koşullu' ilişki ölçümü Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) tarafından gerçekleştirilir. Bu nedenle, ACF'nin saf korelasyonu ölçtüğünü iddia eden ifade hatalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
ACF'nin temel tanımını analiz et.
ACF (ρk\rho_k), YtY_t ile Yt−kY_{t-k} arasındaki toplam (brüt) doğrusal ilişkiyi ölçer; aradaki Yt−1,…,Yt−k+1Y_{t-1}, \dots, Y_{t-k+1} terimlerini hesaba katmaz.
ACF'nin PACF'den temel farkını anlamak için gereklidir.
2
Durağan süreçlerin genel özelliklerini kontrol et.
ρ0=1\rho_0=1, ∣ρk∣≤1|\rho_k| \leq 1 ve ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k} özellikleri zayıf durağan tüm süreçler için matematiksel birer zorunluluktur.
Genel özelliklerin doğruluğunu teyit etmek için gereklidir.
3
Model davranışlarını (MA vs AR) değerlendir.
MA(q) süreçlerinde ACF qq gecikmeden sonra kesilir (cut-off), AR(p) süreçlerinde ise üstel veya sinüzoidal olarak sönümlenir (dies down).
Korelogram yorumlama kurallarını doğrulamak için gereklidir.
4
Hatalı ifadeyi belirle.
'Aradaki terimlerin etkisini kontrol etme' veya 'saf ilişkiyi ölçme' tanımı PACF'ye (Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu) aittir.
Doğru cevaba ulaşmak için kavramsal ayrım yapılır.

Anahtar Kavram

Otokorelasyon (ACF) ile Kısmi Otokorelasyon (PACF) arasındaki temel kavramsal fark: ACF toplam korelasyonu, PACF ise aradaki gecikmelerden arındırılmış doğrudan korelasyonu ölçer.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

Zaman serisi analizinde, zayıf durağan bir stokastik sürecin içsel bağımlılık yapısını ve bellek özelliğini belirlemek amacıyla kullanılan otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Otokorelasyon katsayıları [−1,1][-1, 1] aralığında değerler alır ve ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k} eşitliği nedeniyle gecikme eksenine göre simetriktir.

Cevap

Otokorelasyon katsayıları [−1,1][-1, 1] aralığında yer alır ve ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k} özelliği gereği simetriktir.
Zayıf durağan bir stokastik süreçte otokorelasyon fonksiyonu, serinin kendi geçmişiyle olan doğrusal ilişkisinin derecesini ölçer. Korelasyon katsayısının tanımı gereği değerleri [−1,1][-1, 1] aralığındadır. Ayrıca, zayıf durağanlık varsayımı altında otokovaryans fonksiyonu sadece gecikme miktarına (kk) bağlı olduğundan ve γk=γ−k\gamma_k = \gamma_{-k} olduğu için otokorelasyon fonksiyonu da ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k} simetri özelliğine (çift fonksiyon) sahiptir. Başlangıç noktası olan ρ0\rho_0 ise daima 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
ACF tanımını ve sınırlarını hatırla
ρk=γk/γ0\rho_k = \gamma_k / \gamma_0. Korelasyon katsayısı olduğu için −1≤ρk≤1-1 \leq \rho_k \leq 1 aralığındadır.
Fonksiyonun matematiksel değer aralığını belirlemek için.
2
Simetri özelliğini (çift fonksiyon) kontrol et
Zayıf durağanlıkta otokovaryans γk=γ−k\gamma_k = \gamma_{-k} olduğu için ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k}'dir.
Zaman farkının yönünün (ileri veya geri) ilişki büyüklüğünü değiştirmediğini doğrulamak için.
3
Süreç bazlı davranışları (AR ve MA) analiz et
MA(q) kesilir, AR(p) sönümlenir. ρ0\rho_0 her zaman 1'dir.
Diğer seçeneklerin neden yanlış olduğunu kavramsal olarak ayırt etmek için.

Anahtar Kavram

Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) Özellikleri

Daha Fazla Pratik

ACF'nin sönümlenme hızı ile serinin durağanlık derecesi (birim kök varlığı) arasındaki ilişkiyi inceleyen Dickey-Fuller testlerini gözden geçirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →

Zayıf durağan (kovaryans durağan) bir {Xt}\{X_t\} zaman serisi sürecinin otokovaryans fonksiyonu γ(k)=Cov(Xt,Xt−k)\gamma(k) = Cov(X_t, X_{t-k}) ile ilgili aşağıda verilen özelliklerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Herhangi bir kk gecikmesi için otokovaryansın mutlak değeri varyans değerinden büyük olabilir (∣γ(k)∣>γ(0)|\gamma(k)| > \gamma(0)).

Cevap

Herhangi bir kk gecikmesi için otokovaryansın mutlak değerinin varyanstan büyük olabileceğini belirten ifade yanlıştır; ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) eşitsizliği her zaman korunur.
Zaman serileri teorisinde otokovaryans fonksiyonunun en temel özelliklerinden biri sınırlılıktır. ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) eşitsizliği, bir değişkenin başka bir gecikmeli değerle olan ilişkisinin (kovaryans), kendisiyle olan ilişkisinden (varyans) daha büyük olamayacağını ifade eder. Bu nedenle mutlak değerce varyansın aşılması teorik olarak imkansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Zayıf durağanlık tanımı üzerinden otokovaryans yapısını incelemek.
Zayıf durağan bir süreçte E[Xt]=μE[X_t] = \mu (sabit) ve Cov(Xt,Xt−k)=γ(k)Cov(X_t, X_{t-k}) = \gamma(k) olup sadece kk gecikmesine bağlıdır.
Zayıf durağanlık, sürecin birinci ve ikinci momentlerinin zamana göre değişmezliğini gerektirir.
2
γ(0)\gamma(0) ile varyans arasındaki ilişkiyi belirlemek.
γ(0)=Cov(Xt,Xt−0)=Cov(Xt,Xt)=Var(Xt)\gamma(0) = Cov(X_t, X_{t-0}) = Cov(X_t, X_t) = Var(X_t).
Sıfır gecikme, değişkenin kendisiyle olan kovaryansını yani varyansını verir.
3
Cauchy-Schwarz eşitsizliğini otokovaryans fonksiyonuna uygulamak.
[Cov(Xt,Xt−k)]2≤Var(Xt)×Var(Xt−k)[Cov(X_t, X_{t-k})]^2 \leq Var(X_t) \times Var(X_{t-k}) olduğundan γ(k)2≤γ(0)×γ(0)\gamma(k)^2 \leq \gamma(0) \times \gamma(0) elde edilir.
İki rassal değişken arasındaki kovaryansın karesi, bu değişkenlerin varyanslarının çarpımından büyük olamaz.
4
Otokovaryansın üst sınırını belirlemek.
γ(k)2≤γ(0)2⇒∣γ(k)∣≤γ(0)\gamma(k)^2 \leq \gamma(0)^2 \Rightarrow |\gamma(k)| \leq \gamma(0).
Bu matematiksel kısıt, otokorelasyon değerlerinin de [−1,1][-1, 1] aralığında kalmasını sağlayan temel özelliktir.

Anahtar Kavram

Otokovaryans Fonksiyonunun Sınırlılığı ve Özellikleri
Soru 10Soru →

Zaman serileri analizinde, bir {Xt}\{X_t\} stokastik sürecinin herhangi bir nn indis kümesi (t1,t2,…,tn)(t_1, t_2, \dots, t_n) için (Xt1,Xt2,…,Xtn)(X_{t_1}, X_{t_2}, \dots, X_{t_n}) tesadüfi değişkenlerinin eklemli dağılım fonksiyonunun, her kk tam sayısı için (Xt1+k,Xt2+k,…,Xtn+k)(X_{t_1+k}, X_{t_2+k}, \dots, X_{t_n+k}) tesadüfi değişkenlerinin eklemli dağılım fonksiyonu ile aynı olması durumu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kesin durağanlık

Cevap

Sürecin eklemli dağılım fonksiyonunun zaman indisindeki kaymalara karşı değişmez kalması durumu 'Kesin Durağanlık' olarak tanımlanır.
Kesin durağanlık (strict stationarity), bir sürecin herhangi bir nn boyutu için eklemli olasılık dağılım fonksiyonunun zaman boyunca sabit kalmasını gerektiren en güçlü durağanlık formudur. Bu durumda sürecin tüm istatistiksel özellikleri (momentler, olasılık yoğunlukları vb.) zamandan bağımsızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eklemli dağılım fonksiyonunun tanımını analiz etme
Sürecin herhangi bir alt kümesinin istatistiksel davranışının incelendiği anlaşıldı.
Soruda verilen matematiksel ifade sürecin olasılık yapısının tamamını kapsamaktadır.
2
Zaman indisindeki kk birimlik kaymanın etkisini değerlendirme
Dağılım fonksiyonunun kaymadan etkilenmediği (değişmez kaldığı) belirlendi.
Dağılımın zaman indisinden bağımsız olması, sürecin tüm istatistiksel özelliklerinin zaman boyunca sabit kaldığını gösterir.
3
Kesin ve zayıf durağanlık ayrımlarını karşılaştırma
Zayıf durağanlığın sadece momentleri (ortalama, varyans), kesin durağanlığın ise tüm dağılımı kapsadığı sonucuna varıldı.
Tanım gereği, eklemli dağılımın değişmezliği kesin durağanlığın (strict stationarity) temel şartıdır.

Anahtar Kavram

Kesin durağanlık, bir stokastik sürecin eklemli olasılık dağılımının zaman içindeki kaymalardan etkilenmemesi durumudur.
Soru 11Soru →
yty_t bir zaman serisi süreci olmak üzere, LL gecikme operatörü ve ∇\nabla birinci dereceden fark operatörü arasındaki matematiksel ilişki temel alındığında;
(1+L+L2)∇yt(1 + L + L^2) \nabla y_t
işleminin sonucunda elde edilen genişletilmiş ifade aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: yt−yt−3y_t - y_{t-3}

Cevap

yt−yt−3y_t - y_{t-3}
Doğru cevap olan yt−yt−3y_t - y_{t-3} ifadesi, (1+L+L2)(1+L+L^2) ve (1−L)(1-L) çarpanlarının çarpımı sonucunda elde edilen 1−L31-L^3 operatörünün seriye uygulanmasıyla bulunur. Bu süreçte yt−1y_{t-1} ve yt−2y_{t-2} terimleri birbirini yok eder.

Adım Adım Çözüm

1
Fark operatörü ile gecikme operatörü arasındaki temel ilişkiyi tanımla.
∇=1−L\nabla = 1 - L
İşlemi tek bir operatör cinsinden yazmak sadeleştirme sağlar.
2
Verilen ifadeyi gecikme operatörü (LL) cinsinden yeniden düzenle.
(1+L+L2)(1−L)yt(1 + L + L^2)(1 - L) y_t
Polinom çarpımı kuralını uygulamak için ∇\nabla yerine (1−L)(1-L) yazılır.
3
Polinom çarpımını (veya küp farkı özdeşliğini) uygula.
1(1−L)+L(1−L)+L2(1−L)=1−L+L−L2+L2−L3=1−L31(1-L) + L(1-L) + L^2(1-L) = 1 - L + L - L^2 + L^2 - L^3 = 1 - L^3
Çarpım yapıldığında iç terimler birbirini sadeleştirir (teleskopik toplam).
4
Elde edilen operatörü zaman serisine uygula.
(1−L3)yt=yt−L3yt=yt−yt−3(1 - L^3) y_t = y_t - L^3 y_t = y_t - y_{t-3}
Gecikme operatörü Lkyt=yt−kL^k y_t = y_{t-k} kuralına göre seriyi kk dönem geri götürür.

Anahtar Kavram

Operatör cebiri ve teleskopik sadeleşme

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (1+L)∇yt(1+L)\nabla y_t işleminin yt−yt−2y_t - y_{t-2} sonucunu verdiğini doğrulayarak pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →

Zayıf durağan bir {Xt}\{X_t\} zaman serisi süreci için tanımlanan otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) özellikleri ve teorik modellerdeki davranışı dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Otokorelasyon fonksiyonu çift bir fonksiyondur; dolayısıyla her kk gecikmesi için ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k} simetrisi geçerlidir.

Cevap

Otokorelasyon fonksiyonunun çift bir fonksiyon olması ve her k gecikmesi için simetri özelliğini sağlaması.
Otokorelasyon fonksiyonu simetriktir (ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k}) ve çift bir fonksiyon olarak tanımlanır. Bu özellik, zayıf durağan her stokastik süreç için temel bir varsayımdır.

Adım Adım Çözüm

1
Otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) tanımını hatırla.
ρk=γk/γ0\rho_k = \gamma_k / \gamma_0 (Burada γk\gamma_k otokovaryans fonksiyonudur).
ACF, otokovaryansın varyansa oranlanmasıyla elde edilen birimsiz bir ölçüdür.
2
Simetri özelliğini analiz et.
γk=E[(Xt−μ)(Xt−k−μ)]=γ−k\gamma_k = E[(X_t - \mu)(X_{t-k} - \mu)] = \gamma_{-k} olduğu için ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k} olur.
Zayıf durağan bir süreçte kovaryans sadece zaman farkına (kk) bağlıdır ve zaman ekseninde ileri veya geri gitmek sonucu değiştirmez.
3
Teorik modellerin (AR ve MA) ACF davranışlarını karşılaştır.
AR(p) modellerinde ACF sönümlenirken (tail off), MA(q) modellerinde ACF qq. gecikmeden sonra kesilir (cut-off).
Sürecin bellek yapısı, AR modellerinde sonsuz (ancak azalan), MA modellerinde ise sonludur.

Anahtar Kavram

Otokorelasyon Fonksiyonunun Özellikleri
Soru 13Soru →

Zayıf durağan bir {Xt}\{X_t\} zaman serisi sürecinin içsel bağımlılık yapısını ve bellek özelliğini betimleyen otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci dereceden hareketli ortalama MA(1)MA(1) süreci için otokorelasyon fonksiyonu (ACF), gecikme sayısı arttıkça sönümlenerek (tail-off) sıfıra yaklaşır.

Cevap

Birinci dereceden hareketli ortalama süreci için otokorelasyon fonksiyonunun sönümlenerek sıfıra yaklaşacağı ifadesi yanlıştır; bu süreçlerde fonksiyon belirli bir gecikmeden sonra kesilir.
Durağan zaman serisi modellerinde otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) davranışı modelin türünü belirler. Hareketli ortalama (MAMA) modellerinde ACF, modelin derecesine eşit olan gecikmeden sonra aniden sıfıra düşer (kesilir). Dolayısıyla MA(1)MA(1) süreci için ACF'nin 'sönümlenerek' (yavaş yavaş azalarak) sıfıra gitmesi mümkün değildir; bu davranış otoregresif (ARAR) süreçlere özgüdür.

Adım Adım Çözüm

1
ACF'nin genel matematiksel özelliklerini hatırla.
ρ0=1\rho_0 = 1, simetri (ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k}) ve sınırlılık (∣ρk∣≤1|\rho_k| \leq 1) her zaman geçerlidir.
Bu özellikler durağan her süreç için ACF'nin temel tanımıdır.
2
Model tipine göre ACF davranışını analiz et.
AR(p)AR(p) süreçlerinde ACF sönümlenir (tail-off), MA(q)MA(q) süreçlerinde ise kesilir (cut-off).
Farklı stokastik süreçlerin otokorelasyon yapıları, modelleri birbirinden ayırt etmek için kullanılır.
3
MA(1)MA(1) süreci özelinde durumu değerlendir.
MA(1)MA(1) için ρ1≠0\rho_1 \neq 0 iken, k>1k > 1 için ρk=0\rho_k = 0 olur.
Hareketli ortalama modellerinde hafıza sadece modelin derecesi (qq) kadar geriye gider, sonrasında bağımlılık biter.

Anahtar Kavram

Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) Kesilme (Cut-off) ve Sönümlenme (Tail-off) Davranışı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →

Zaman serileri analizinde bir {Xt}\{X_t\} stokastik sürecinin zayıf (kovaryans) durağanlık koşullarını sağladığı biliniyorsa, bu sürecin istatistiksel özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi her zaman zorunlu bir koşuldur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sürecin beklenen değerinin zamandan bağımsız ve sabit bir sonlu değer olması

Cevap

Sürecin beklenen değerinin zamandan bağımsız ve sabit bir sonlu değer olması
Doğru yanıt olan beklenen değerin sabitliği, zayıf durağanlığın tanımı gereği sağlanan ilk koşuldur. Matematiksel olarak E[Xt]=μE[X_t] = \mu (sabit) olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1
Zayıf durağanlık (kovaryans durağanlığı) tanımını hatırla.
Bir sürecin zayıf durağan olması için üç şart vardır: Sabit beklenen değer, sabit ve sonlu varyans, sadece gecikmeye bağlı otokovaryans.
Zayıf durağanlık, sürecin istatistiksel momentleri (ilk iki moment) üzerinden tanımlanır.
2
Seçeneklerdeki ifadeleri bu üç şartla karşılaştır.
Beklenen değerin sabitliği doğrudan birinci şarttır. Dağılımın değişmezliği kesin durağanlık şartıdır. Varyansın artması veya otokovaryansın zamana bağlılığı durağanlığı bozar.
Kesin durağanlık tüm olasılık dağılımını kapsarken, zayıf durağanlık sadece ortalama ve kovaryans yapısına odaklanır.

Anahtar Kavram

Zayıf durağanlık, sürecin ortalama ve varyansının zaman boyunca sabit kalmasını, otokovaryansının ise sadece gözlemler arasındaki mesafeye (gecikmeye) bağlı olmasını gerektirir.

İpuçları

1
Zayıf durağanlık (kovaryans durağanlığı) sadece ilk iki moment (ortalama ve varyans) ile ilgilidir.

Daha Fazla Pratik

Zayıf durağan bir sürecin hangi ek koşul altında kesin durağan kabul edilebileceğini (Gauss süreçleri) araştırınız.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →

Zaman serileri analizinde stokastik süreçlerin yapısal özelliklerini tanımlamak için kullanılan kesin (strict) durağanlık ve zayıf (weak) durağanlık kavramları arasındaki ilişki dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kesin durağan bir süreçte ilk iki moment (beklenen değer ve varyans) mevcutsa, bu süreç aynı zamanda zayıf durağandır.

Cevap

Kesin durağan bir süreçte ilk iki momentin (beklenen değer ve varyans) mevcut olması durumunda, bu sürecin aynı zamanda zayıf durağan olması
Kesin durağan bir süreçte eklemli olasılık dağılımı zamana göre değişmez. Eğer bu sürecin beklenen değer ve varyans gibi ilk iki momenti matematiksel olarak tanımlıysa (mevcutsa), bu değerler de dağılımın özellikleri olarak zaman boyunca sabit kalacaktır. Bu durum, zayıf durağanlık koşullarının (sabit ortalama ve gecikmeye bağlı kovaryans) sağlanması anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesin durağanlığın tanımını analiz etme
F(xt1,...,xtn)=F(xt1+k,...,xtn+k)F(x_{t_1}, ..., x_{t_n}) = F(x_{t_1+k}, ..., x_{t_n+k})
Kesin durağanlık, sürecin tüm istatistiksel özelliklerinin (dağılımının) zaman boyunca aynı kalmasıdır.
2
Zayıf durağanlığın koşullarını belirleme
Sabit beklenen değer, sonlu varyans ve zamandan bağımsız otokovaryans.
Zayıf durağanlık (kovaryans durağanlığı) sadece ilk iki moment üzerine odaklanır.
3
İki kavram arasındaki hiyerarşik ilişkiyi kurma
Eğer momentler mevcutsa; Kesin Durağan   ⟹  \implies Zayıf Durağan.
Eklemli dağılım sabitse, bu dağılımdan türetilen momentler de (şayet varsa) sabit olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Momentlerin mevcudiyeti durumunda kesin durağanlığın zayıf durağanlığı kapsaması
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 16Soru →

Zayıf durağan bir {Xt}\{X_t\} zaman serisi süreci için tanımlanan otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Otokorelasyon fonksiyonu ρk\rho_k, her zaman [−1,1][-1, 1] aralığında değer alır ve başlangıç değeri ρ0=1\rho_0 = 1 olarak tanımlanır.

Cevap

Otokorelasyon fonksiyonu normalleştirilmiş bir ölçüdür, başlangıç değeri 1'dir ve değerleri -1 ile 1 arasında sınırlıdır.
Zayıf durağan bir süreçte ACF, otokovaryans fonksiyonunun varyansa bölünmesiyle standardize edilir. Bu nedenle ρ0\rho_0 her zaman 1'dir ve tüm katsayılar −1-1 ile 11 arasındadır. Ayrıca ACF, ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k} özelliğine sahip çift ve simetrik bir fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1
ACF'nin tanımını ve normalizasyon özelliğini analiz etme
ρk=γkγ0\rho_k = \frac{\gamma_k}{\gamma_0} formülünden hareketle ρ0=γ0γ0=1\rho_0 = \frac{\gamma_0}{\gamma_0} = 1 olduğu görülür.
Otokorelasyon, serinin kendisiyle olan korelasyonu olduğu için 0. gecikmede tam bağımlılık (1) gösterir.
2
Katsayıların sınırlarını ve simetri özelliğini kontrol etme
Korelasyon katsayısının doğası gereği ∣ρk∣≤1|\rho_k| \leq 1 ve zayıf durağanlık gereği γk=γ−k\gamma_k = \gamma_{-k} olduğundan ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k}'dir.
Durağan süreçlerde kovaryans sadece zaman farkına bağlıdır, yönüne bağlı değildir.
3
Model davranışlarını (AR vs MA) karşılaştırma
MA(q) süreçleri q gecikmesinden sonra kesilir, AR(p) süreçleri ise sönümlenerek devam eder.
MA modelleri kısa bellekli, AR modelleri ise sonsuz bellekli (fakat azalan etkili) yapılardır.

Anahtar Kavram

Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) Teorik Özellikleri ve Model Tanımlama

Daha Fazla Pratik

ACF'nin sönümlendiği ancak PACF'nin kesildiği bir sürecin AR(p) modeli olduğunu unutmayınız.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru →

Zaman serileri analizinde {Xt}\{X_t\} stokastik sürecinin kesin durağan (strictly stationary) olduğu bilinmektedir. Bu sürecin aynı zamanda zayıf durağan (weakly stationary) bir süreç olarak nitelendirilebilmesi için aşağıdaki şartlardan hangisinin gerçekleşmesi zorunludur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sürecin birinci ve ikinci momentlerinin (beklenen değer ve varyans) mevcut ve sonlu olması

Cevap

Kesin durağan bir sürecin zayıf durağan olarak kabul edilebilmesi için birinci ve ikinci momentlerinin (beklenen değer ve varyans) mevcut ve sonlu olması zorunludur.
Zayıf durağanlık (veya kovaryans durağanlığı), sürecin ilk iki momentinin (beklenen değer ve varyans/otokovaryans) zamandan bağımsız olmasını gerektirir. Kesin durağan bir süreçte tüm dağılım zamandan bağımsız olduğu için, eğer bu sürecin birinci ve ikinci momentleri matematiksel olarak tanımlı ve sonlu ise, bu momentler otomatik olarak sabit kalır ve süreç zayıf durağan olur. Ancak momentleri olmayan (örneğin ortalaması sonsuz olan) kesin durağan süreçler zayıf durağan sayılamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Kesin durağanlık (strict stationarity) tanımını analiz et.
Kesin durağanlık, bir sürecin eklemli (joint) olasılık dağılımının zaman kaymalarından etkilenmemesidir.
Bu tanım dağılımsal bir değişmezlik sunar ancak momentlerin (ortalama, varyans) varlığını matematiksel olarak zorunlu kılmaz (örneğin Cauchy dağılımı kesin durağandır ama ortalaması yoktur).
2
Zayıf durağanlık (weak stationarity) koşullarını hatırla.
Zayıf durağanlık için beklenen değerin sabit, varyansın sonlu ve otokovaryansın sadece gecikmeye (kk) bağlı olması gerekir.
Zayıf durağanlık tanımı doğrudan istatistiksel momentler üzerinden yapıldığı için bu momentlerin 'mevcut' olması ön koşuldur.
3
İki kavram arasındaki hiyerarşik ilişkiyi kur.
Eğer kesin durağan bir sürecin ilk iki momenti sonlu ise süreç zayıf durağandır.
Kesin durağanlıkta dağılım değişmediği için eğer momentler varsa bunlar zaten zamandan bağımsız (sabit) olacaktır.

Anahtar Kavram

Momentlerin Varlığı ve Durağanlık Hiyerarşisi

Daha Fazla Pratik

Cauchy dağılımına sahip bir stokastik sürecin neden kesin durağan olup zayıf durağan olamayacağını araştırınız.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →

Zaman serileri analizinde kullanılan otokorelasyon fonksiyonu (ACF), bir sürecin içsel bağımlılık yapısını ve bellek özelliğini yansıtan en temel araçlardan biridir. Durağan bir stokastik sürecin teorik otokorelasyon fonksiyonunun özellikleri ve farklı modellerdeki davranışı dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Otokorelasyon fonksiyonu ρ0=1\rho_0 = 1 değerinden başlar ve ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k} eşitliğini sağlayarak gecikme eksenine göre simetrik (çift fonksiyon) bir yapı sergiler.

Cevap

Otokorelasyon fonksiyonu başlangıçta ρ0=1\rho_0 = 1 değerini alır ve her zaman ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k} simetrisini korur.
Durağan bir süreçte ACF, ρ0=1\rho_0 = 1 noktasından başlar. Gecikme pozitif veya negatif olsa da korelasyonun büyüklüğü değişmez (ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k}), bu da fonksiyonun çift fonksiyon ve simetrik olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
ACF'nin tanım ve başlangıç değerini kontrol etme
ρ0=Cov(Xt,Xt)/Var(Xt)=1\rho_0 = Cov(X_t, X_t) / Var(X_t) = 1
Bir değişkenin kendisiyle korelasyonu tanım gereği 1'dir.
2
Simetri özelliğini analiz etme
ρk=ρ−k\rho_k = \rho_{-k}
Zaman serilerinde tt ile t−kt-k arasındaki ilişki, tt ile t+kt+k arasındaki ilişkiyle aynıdır (durağanlık varsayımı altında).
3
Model bazlı davranışları karşılaştırma
ARAR süreçlerinde sönümlenme, MAMA süreçlerinde ise kesilme (cut-off) gözlenir.
ACF grafiği (korelogram), sürecin hangi tür stokastik yapıya sahip olduğunu belirlemek (kimliklendirme) için kullanılır.

Anahtar Kavram

Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) Özellikleri
Soru 19Soru →

Zaman serileri analizinin teorik temelini oluşturan stokastik süreç kavramı ve bu sürecin temel özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Stokastik süreç, bir TT indis kümesi üzerindeki {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\} rassal değişkenler ailesidir ve gözlemlenen her bir zaman serisi bu sürecin bir gerçekleştirmesidir.

Cevap

Stokastik süreç, bir indis kümesi üzerindeki rassal değişkenler ailesidir ve gözlemlenen her bir zaman serisi bu sürecin bir gerçekleştirmesidir.
Doğru olan ifade, stokastik sürecin bir rassal değişkenler ailesi olduğunu ve gözlemlediğimiz tek bir zaman serisinin bu sürecin sonsuz olasılığından biri olan 'gerçekleştirme' (realization) olduğunu belirtir. Bu, zaman serileri analizinin istatistiksel tanımıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Stokastik süreç tanımının analiz edilmesi
Stokastik süreç {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\} şeklinde gösterilir; burada TT indis kümesi (genellikle zaman) ve her bir tt için X(t)X(t) bir rassal değişkendir.
Sürecin matematiksel altyapısını anlamak için indis kümesi ve rassal değişken ilişkisi kurulmalıdır.
2
Gerçekleştirme (Realization) kavramının açıklanması
Belirli bir ω\omega örneklem noktası için {X(t,ω),t∈T}\{X(t, \omega), t \in T\} fonksiyonu, sürecin tek bir yolunu (örnek yol/zaman serisi) ifade eder.
Teorik süreç ile elimizdeki somut veri seti (zaman serisi) arasındaki farkı ayırt etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Stokastik Süreç ve Örnek Yol (Sample Path) İlişkisi

Daha Fazla Pratik

Durağanlık (stationary) ve durağan olmama durumlarının stokastik süreçlerin otokovaryans fonksiyonları üzerindeki etkilerini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 20Soru →

Bir zaman serisi analizinde, YtY_t ve Yt−kY_{t-k} arasındaki korelasyonun, aradaki Yt−1,Yt−2,...,Yt−k+1Y_{t-1}, Y_{t-2}, ..., Y_{t-k+1} gibi gecikmeli değişkenlerin etkisinden arındırılarak hesaplanmasıyla elde edilen kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACFPACF) incelenmektedir. Yapılan incelemede PACFPACF değerlerinin 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak anlamlılığını yitirerek kesildiği (sıfıra düştüğü), otokorelasyon fonksiyonunun (ACFACF) ise sönümlenerek (azalarak) devam ettiği görülmüştür. Box-Jenkins metodolojisine göre, bu zaman serisi için en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AR(2)AR(2) modeli

Cevap

Modelin kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACFPACF) 2. gecikmeden sonra kesilmesi ve otokorelasyon fonksiyonunun (ACFACF) sönümlenmesi, serinin AR(2)AR(2) modeline sahip olduğunu gösterir.
Durağan bir zaman serisinde, eğer PACFPACF belirli bir pp gecikmesinden sonra aniden kesiliyorsa ve ACFACF azalarak sönümleniyorsa, bu yapı AR(p)AR(p) modeline işaret eder. Soruda PACFPACF'nin 2. gecikmeden sonra kesildiği belirtildiğinden, modelin derecesi 2'dir ve sonuç AR(2)AR(2)'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon davranışlarını analiz et.
ACFACF sönümleniyor, PACFPACF ise 2. gecikmeden sonra kesiliyor.
Model belirleme aşamasında fonksiyonların kesilme veya sönümlenme özellikleri model türünü belirler.
2
PACFPACF kesilme özelliğini model türüyle eşleştir.
PACFPACF kesilmesi Otoregresif (ARAR) modellerin temel özelliğidir.
Teorik olarak AR(p)AR(p) modellerinde k>pk > p için ϕkk=0\phi_{kk} = 0 olur.
3
Kesilme noktasını (gecikmeyi) model derecesi olarak tanımla.
Kesilme 2. gecikmede olduğu için p=2p=2 olarak belirlenir.
PACFPACF'nin sıfırdan farklı olduğu son anlamlı gecikme, AR modelinin derecesini verir.

Anahtar Kavram

Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACFPACF) AR(p)AR(p) modellerinde pp gecikmesinden sonra kesilme (cut-off) özelliği göstermesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Sayfa 1 / 5Sonraki