Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇoklu Doğrusal Regresyon Modeli ve Varsayımları

Çoklu doğrusal regresyon modelinin Y=Xβ+uY = X\beta + u şeklindeki matrisel gösteriminde, En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicisi olan β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y vektörünün hesaplanabilmesi ve parametre katsayılarının tek bir çözümle (unique solution) elde edilebilmesi için gerekli olan temel matris varsayımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. XX veri matrisinin tam sütun rankına sahip olması (rank(X)=krank(X) = k)Cevap
  2. B
    Hata terimlerinin (uu) normal dağılıma sahip olması
  3. C
    Gözlem sayısının (nn), tahmin edilecek parametre sayısından (kk) küçük olması
  4. D
    Bağımsız değişkenler arasında yüksek (ancak tam olmayan) korelasyon bulunması
  5. E
    Hata terimlerinin varyans-kovaryans matrisinin köşegen dışı elemanlarının sıfırdan farklı olması

Cevap

Veri matrisinin tam sütun rankına sahip olması (rank(X)=krank(X) = k), katsayıların tekil olarak belirlenebilmesi için zorunlu olan 'tam çoklu doğrusal bağlantı yokluğu' varsayımıdır.
En Küçük Kareler (EKK) yönteminde katsayılar vektörü β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y işlemiyle bulunur. Bu matematiksel işlemin gerçekleşebilmesi için (X′X)(X'X) matrisinin determinantı sıfırdan farklı (non-singular) olmalıdır. Bu durumun sağlanması için temel varsayım, bağımsız değişkenler arasında tam doğrusal bağımlılık bulunmaması, yani XX matrisinin tam sütun rankına (rank(X)=krank(X) = k) sahip olmasıdır. Aksi takdirde parametreler için tek bir çözüm üretilemez.

Adım Adım Çözüm

1
EKK tahmin edicisi formülünü analiz etme
β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y formülünde (X′X)−1(X'X)^{-1} ifadesinin varlığı, bu matrisin tersinin (inverse) alınabilir olmasını gerektirir.
Bir matrisin tersi yoksa (singular ise), denklem sisteminin tek bir çözümü yoktur; sonsuz sayıda çözüm üretilir.
2
Matris tersi için rank koşulunu belirleme
X′XX'X matrisinin tersinin alınabilmesi için XX matrisinin sütunları arasında tam doğrusal bağımlılık olmamalıdır.
Eğer bir bağımsız değişken diğerlerinin tam bir doğrusal katıysa (Xj=cXiX_j = c X_i), matrisin determinantı sıfır olur ve tersi hesaplanamaz.
3
Varsayımın adını tanımlama
Bu durum 'Tam Çoklu Doğrusal Bağlantı Yokluğu' (No Perfect Multicollinearity) veya 'Tam Rank' (Full Rank) varsayımıdır.
rank(X)=krank(X) = k olması, kk adet bağımsız değişkenin (sabit terim dahil) her birinin modele benzersiz bilgi kattığını garanti eder.

Anahtar Kavram

Tam Rank Varsayımı (Full Rank Assumption)

Daha Fazla Pratik

Bağımsız değişkenler arasında tam doğrusal bağlantı olduğunda ortaya çıkan 'Kukla Değişken Tuzağı' (Dummy Variable Trap) konusunu inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çoklu Doğrusal Regresyon Modeli ve Varsayımları

Bu konudan daha fazla soru