\{W(t), t \geq 0\} standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olmak üzere, X = W(9) -… — KPSS İstatistik

\{W(t), t \geq 0\}

standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olmak üzere,

X = W(9) - W(4)

Y = W(7) - W(2)

rastgele değişkenleri tanımlanıyor.

Buna göre, $X$ ile $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans, $Cov(X, Y)$ değeri kaçtır?

Doğru değer 3'tür.

Kovaryans işlemi doğrusal bir işlemdir. İfade açıldığında

Cov(W(9), W(7)) - Cov(W(9), W(2)) - Cov(W(4), W(7)) + Cov(W(4), W(2))

elde edilir. Wiener süreci özelliği gereği

Cov(W(s), W(t)) = \min(s, t)

olduğundan, bu değer

7 - 2 - 4 + 2 = 3

olarak hesaplanır. Pratik ve sezgisel bir yaklaşımla; iki artışın zaman ekseninde örtüştüğü bölge

(4, 7)

aralığıdır. Ortak varyansı bu örtüşen kısmın uzunluğu belirler, bu da doğrudan

7 - 4 = 3

olarak bulunur.

Standart Wiener süreci için genel kovaryans formülünü hatırlayın.

Cov(W(s), W(t)) = \min(s, t)

Wiener sürecinin temel özelliklerinden biri, beklenen değerin sıfır ve kovaryansın zamanların minimumu olmasıdır.

İstenen kovaryans ifadesini bilineer (doğrusal) dağılma özelliğini kullanarak açın.

Cov(W(9) - W(4), W(7) - W(2)) = Cov(W(9), W(7)) - Cov(W(9), W(2)) - Cov(W(4), W(7)) + Cov(W(4), W(2))

Kovaryans operatörü her iki argümanına göre de doğrusaldır.

Minimum formülünü kullanarak elde edilen her bir kovaryans teriminin değerini hesaplayın.

\min(9,7) - \min(9,2) - \min(4,7) + \min(4,2) = 7 - 2 - 4 + 2

Açılımdaki her bir

Cov(W(s),W(t))

ifadesi sayısal karşılığına dönüştürülür.

Aritmetik işlemi tamamlayıp nihai sonucu bulun.

7 - 2 - 4 + 2 = 3

Değerlerin cebirsel toplamı istenen kovaryans değerini verir.

Standart Wiener sürecinde artışların bağımsızlığı ve kovaryans hesabı

Soru