Zaman ekseni t \geq 0 üzerinde tanımlı standart bir Wiener süreci W(t) ile gösterilsin. Bu… — KPSS İstatistik

Zaman ekseni $t \geq 0$ üzerinde tanımlı standart bir Wiener süreci $W(t)$ ile gösterilsin.

Bu süreç yardımıyla oluşturulan,

X = W(3) + W(7)

Y = W(3) - W(7)

rastgele değişkenleri dikkate alındığında,

X

ile

Y

arasındaki kovaryans (

Cov(X, Y)

) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

X

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans

-4

'tür.

İki rastgele değişkenin kovaryansı bulunurken, değişkenler çarpılıp beklenen değerleri alınır.

X

Y

'nin beklenen değerleri sıfır olduğundan işlem

E[XY]

noktasına indirgenir. İki kare farkı özdeşliği ile

E[W(3)^2 - W(7)^2]

elde edilir. Standart Kahverengi harekette varyans zamana (

t

) eşit olduğundan

3 - 7 = -4

sonucuna ulaşılır. Alternatif olarak, kovaryansın bilineerlik özelliği kullanılarak

Cov(W(3)+W(7), W(3)-W(7)) = Var(W(3)) - Var(W(7)) = 3 - 7 = -4

şeklinde de hesaplanabilir.

Kovaryansın temel tanımını beklenen değer cinsinden yazmak.

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

Rastgele değişkenlerin doğrusal bileşimlerinin kovaryansını bulmak için genel tanımı kullanmak.

X

Y

değişkenlerinin beklenen değerlerini hesaplamak.

E[W(t)] = 0

olduğundan,

E[X] = E[W(3) + W(7)] = 0

E[Y] = E[W(3) - W(7)] = 0

olur. Bu durumda

Cov(X, Y) = E[XY]

eşitliği elde edilir.

Standart Wiener sürecinin her

t

anındaki beklenen değeri sıfırdır.

Çarpımın beklenen değerini oluşturmak.

E[XY] = E[(W(3) + W(7))(W(3) - W(7))] = E[W(3)^2 - W(7)^2]

İki kare farkı özdeşliği kullanılarak karmaşık çarpım işlemi sadeleştirilir.

Beklenen değerin doğrusallığını ve Wiener sürecinin ikinci moment özelliğini uygulamak.

E[W(3)^2] - E[W(7)^2] = Var(W(3)) - Var(W(7)) = 3 - 7 = -4

Standart Wiener sürecinde

E[W(t)^2] = Var(W(t)) = t

eşitliği her zaman geçerlidir.

Wiener Süreci Kovaryans ve Varyans Özellikleri

Soru