Examkin

Soru

Zorluk: ZorWiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Zamana bağlı stokastik bir süreç olan ve bağımsız, durağan artışlara sahip standart bir Brown hareketi (Wiener süreci) B(t)B(t) ile gösterilsin. Ft\mathcal{F}_t, bu sürecin tt anına kadar olan bilgisini içeren doğal filtrasyonudur.

Sıfırdan farklı bir α\alpha gerçel sayısı kullanılarak yeni bir stokastik süreç,
X(t)=eαB(t)−ktX(t) = e^{\alpha B(t) - k t}
formülüyle tanımlanmıştır.

X(t)X(t) sürecinin Ft\mathcal{F}_t'ye göre bir martingal (martingale) olabilmesi için kk sabiti hangi değere eşit olmalıdır?

  1. A
    α2\alpha^2
  2. B
    00
  3. α22\frac{\alpha^2}{2}Cevap
  4. D
    α2\frac{\alpha}{2}
  5. E
    α\alpha

Cevap

Martingal koşulunu sağlayan değer α22\frac{\alpha^2}{2} olmalıdır.
Bir üstel Brown hareketinin (Wald martingali) martingal olabilmesi için sürecin koşullu beklenen değerinin mevcut duruma eşit olması gerekir. B(t)−B(s)∼N(0,t−s)B(t) - B(s) \sim N(0, t-s) olduğundan, beklenen değer hesabında Normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu olan E[eα(B(t)−B(s))]=e12α2(t−s)E[e^{\alpha(B(t)-B(s))}] = e^{\frac{1}{2}\alpha^2(t-s)} kullanılır. Bu değerin deterministik zaman bileşeni olan e−k(t−s)e^{-k(t-s)} ile çarpımının 1'e (yani etkisiz elemana) eşit olması, ancak üslerin toplamının sıfır olmasıyla mümkündür: 12α2(t−s)−k(t−s)=0  ⟹  k=α22\frac{1}{2}\alpha^2(t-s) - k(t-s) = 0 \implies k = \frac{\alpha^2}{2}.

Adım Adım Çözüm

1
X(t)X(t)'nin bir martingal olma koşulu olan E[X(t)∣Fs]=X(s)E[X(t) | \mathcal{F}_s] = X(s) denklemini (burada s<ts < t) yazmak.
E[eαB(t)−kt∣Fs]=eαB(s)−ksE[e^{\alpha B(t) - kt} | \mathcal{F}_s] = e^{\alpha B(s) - ks} eşitliği elde edilir.
Bir sürecin martingal sayılabilmesi için gelecekteki koşullu beklenen değerinin şu anki durumuna eşit olması gerekir.
2
X(t)X(t) ifadesini bilinen ss anı ve (t−s)(t-s) zaman aralığındaki artış cinsinden çarpanlara ayırmak.
X(t)=eαB(s)−ks⋅eα(B(t)−B(s))−k(t−s)X(t) = e^{\alpha B(s) - ks} \cdot e^{\alpha(B(t)-B(s)) - k(t-s)} şeklinde yeniden düzenlenir.
Brown hareketinde B(t)−B(s)B(t) - B(s) artışı geçmişten (yani Fs\mathcal{F}_s'den) bağımsızdır, bu sayede beklenen değer hesabı kolaylaşır.
3
Bağımsız artışın dağılımını kullanarak koşullu beklenen değeri hesaplamak.
B(t)−B(s)∼N(0,t−s)B(t) - B(s) \sim N(0, t-s) olduğundan, moment çıkaran fonksiyon kuralıyla E[eα(B(t)−B(s))]=e12α2(t−s)E[e^{\alpha(B(t)-B(s))}] = e^{\frac{1}{2}\alpha^2(t-s)} bulunur.
Normal dağılımlı bir Z∼N(0,σ2)Z \sim N(0, \sigma^2) değişkeni için üstel beklenen değer formülü E[eαZ]=e12α2σ2E[e^{\alpha Z}] = e^{\frac{1}{2}\alpha^2 \sigma^2}'dir.
4
Hesaplanan değeri yerine koyarak denklemi çözmek.
X(s)⋅e−k(t−s)⋅e12α2(t−s)=X(s)X(s) \cdot e^{-k(t-s)} \cdot e^{\frac{1}{2}\alpha^2(t-s)} = X(s) eşitliğinden e(t−s)(α22−k)=1e^{(t-s)(\frac{\alpha^2}{2} - k)} = 1 elde edilir. Üssün sıfır olması gerektiğinden k=α22k = \frac{\alpha^2}{2} bulunur.
Eşitliğin her iki tarafının dengelenmesi için üslü ifadenin 1'e, dolayısıyla üssün 0'a eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Wiener Süreci ve Martingal Özelliği (Wald Martingali)

Alternatif Yöntem

İto Lemması (Ito's Calculus) kullanılarak çözüm yapılabilir: f(B,t)=eαB−ktf(B, t) = e^{\alpha B - kt} fonksiyonuna İto Lemması uygulandığında df=(12α2−k)fdt+αfdBdf = (\frac{1}{2}\alpha^2 - k)f dt + \alpha f dB diferansiyel denklemi elde edilir. Bir sürecin martingal olması için dt'li terimin (sürüklenme/drift terimi) sıfır olması gerekir. Buradan 12α2−k=0  ⟹  k=α22\frac{1}{2}\alpha^2 - k = 0 \implies k = \frac{\alpha^2}{2} sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Wiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Bu konudan daha fazla soru