Examkin

Soru

Zorluk: ZorRao-Blackwell Teoremi

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n (n>1n > 1) bağımsız rastgele değişkenleri, başarı olasılığı pp olan bir geometrik dağılımdan (ilk başarıya kadar geçen deneme sayısı) elde edilen rastgele bir örneklem olsun. Bu dağılımın olasılık fonksiyonu P(X=x)=p(1−p)x−1P(X = x) = p(1-p)^{x-1}, x=1,2,…x=1, 2, \dots şeklinde verilmektedir.

pp parametresi için yansız bir tahmin edici şu şekilde tanımlanmıştır:
W={1,X1=10,dig˘erW = \begin{cases} 1, & X_1 = 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin pp için yeterli (sufficient) olduğu bilindiğine göre, Rao-Blackwell teoremi uyarınca WW tahmin edicisinin TT yeterli istatistiğine göre koşullu beklenen değeri olan ϕ(T)=E(W∣T)\phi(T) = E(W|T) yansız tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    nT\frac{n}{T}
  2. B
    T−nT\frac{T-n}{T}
  3. n−1T−1\frac{n-1}{T-1}Cevap
  4. D
    Tn\frac{T}{n}
  5. E
    n−1T\frac{n-1}{T}

Cevap

Rao-Blackwell teoremi uygulanarak hesaplanan koşullu beklenen değer n−1T−1\frac{n-1}{T-1} şeklindedir.
Rao-Blackwell teoremine göre ϕ(T)=E(W∣T)\phi(T) = E(W|T) hesaplanmalıdır. WW gösterge (indikatör) fonksiyonu olduğundan bu beklenti P(X1=1∣T=t)P(X_1=1 | T=t) olasılığına denktir. Koşullu olasılık açılımından P(X1=1)⋅P(∑i=2nXi=t−1)P(∑i=1nXi=t)\frac{P(X_1=1) \cdot P(\sum_{i=2}^n X_i = t-1)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = t)} elde edilir. Bağımsız geometrik rastgele değişkenlerin toplamı Negatif Binom dağılımına uyduğu için, paydaki toplam (t−2n−2)pn−1(1−p)t−n\binom{t-2}{n-2} p^{n-1} (1-p)^{t-n}, paydadaki toplam ise (t−1n−1)pn(1−p)t−n\binom{t-1}{n-1} p^n (1-p)^{t-n} olarak yazılır. Paydaki P(X1=1)=pP(X_1=1)=p olasılığı da dâhil edilip taraf tarafa bölündüğünde kombinasyonların oranı n−1t−1\frac{n-1}{t-1} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
WW tahmin edicisinin T=tT=t verildiğindeki koşullu beklenen değerini yazmak.
E(W∣T=t)=P(X1=1∣T=t)E(W|T=t) = P(X_1=1 | T=t)
WW yalnızca X1=1X_1=1 durumunda 11 değerini alan bir gösterge (indikatör) fonksiyonudur. Gösterge fonksiyonunun beklenen değeri, olayın olasılığına eşittir.
2
Koşullu olasılık formülünü uygulamak.
P(X1=1∣T=t)=P(X1=1 ve ∑i=2nXi=t−1)P(∑i=1nXi=t)P(X_1=1 | T=t) = \frac{P(X_1=1 \text{ ve } \sum_{i=2}^n X_i = t-1)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = t)}
Olayların bağımsızlığından yararlanarak, T=tT=t kısıtı altında X1=1X_1=1 durumunu, geri kalan n−1n-1 gözlemin toplamının t−1t-1 olması şartına dönüştürmek gerekir.
3
Geometrik dağılımların toplamı olan Negatif Binom dağılımı olasılıklarını yerlerine koymak.
Pay: p⋅(t−2n−2)pn−1(1−p)t−np \cdot \binom{t-2}{n-2} p^{n-1}(1-p)^{t-n}, Payda: (t−1n−1)pn(1−p)t−n\binom{t-1}{n-1} p^n(1-p)^{t-n}
nn adet bağımsız Geometrik dağılımın toplamı Negatif Binom dağılımı gösterir. Hem tüm toplam için hem de geri kalan n−1n-1 değişkenin toplamı için olasılık kütle fonksiyonu uygulanır.
4
İfadeleri sadeleştirerek nihai tahmin ediciyi elde etmek.
(t−2n−2)(t−1n−1)=(t−2)!(n−2)!(t−n)!(t−1)!(n−1)!(t−n)!=n−1t−1\frac{\binom{t-2}{n-2}}{\binom{t-1}{n-1}} = \frac{\frac{(t-2)!}{(n-2)!(t-n)!}}{\frac{(t-1)!}{(n-1)!(t-n)!}} = \frac{n-1}{t-1}
Pay ve paydadaki pn(1−p)t−np^n(1-p)^{t-n} ortak terimleri sadeleşir. Kalan faktöriyel açılımları düzenlendiğinde ϕ(T)\phi(T) elde edilir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi Uygulaması (Koşullu Beklenen Değer Yoluyla UMVUE Bulma)
Bu soruyu puanla

Konular

Rao-Blackwell Teoremi

Bu konudan daha fazla soru