Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRao-Blackwell Teoremi

İstatistiksel çıkarım sürecinde bir araştırmacı, ilgilenilen θ\theta parametresi için yansız bir WW tahmin edicisi ile örneklemin bir fonksiyonu olan TT istatistiğini dikkate almaktadır. Araştırmacı, ϕ(T)=E(W∣T)\phi(T) = E(W \mid T) koşullu beklenen değerini hesaplayarak yeni bir tahmin edici elde etmek istemektedir.

Rao-Blackwell teoremine göre, ϕ(T)\phi(T)'nin örneklem verilerinden doğrudan hesaplanabilen (içinde bilinmeyen θ\theta parametresini barındırmayan) geçerli bir istatistik olması ve genel özellikleri bağlamında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. TT, θ\theta için yeterli (sufficient) bir istatistik olmalıdır; bu durumda ϕ(T)\phi(T), θ\theta için yansız ve WW'ye göre eşit veya daha küçük varyanslı bir tahmin edici olur.Cevap
  2. B
    TT'nin yeterli istatistik olmasının yanı sıra tam (complete) olması da teorem gereği zorunludur; böylece ϕ(T)\phi(T) düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) olur.
  3. C
    TT, θ\theta için yeterli bir istatistik olmalıdır ancak koşullama işlemi nedeniyle ϕ(T)\phi(T) yanlı (biased) hâle gelir; bu yüzden hata kareler ortalaması (MSE) varyansından büyüktür.
  4. D
    TT'nin yeterli istatistik olması şart değildir; WW yansız olduğu için ϕ(T)\phi(T) her zaman hesaplanabilir ve θ\theta için tutarlı (consistent) bir tahmin edici olur.
  5. E
    TT, olabilirlik fonksiyonunu çarpanlarına ayırma kuralını sağlamayan yardımcı (ancillary) bir istatistik olmalıdır ki ϕ(T)\phi(T) varyans küçültme işlemini gerçekleştirebilsin.

Cevap

TT'nin yeterli istatistik olması gerektiğini ve ϕ(T)\phi(T)'nin yansız, daha küçük veya eşit varyanslı bir tahmin edici olacağını belirten seçenektir.
Rao-Blackwell teoremine göre, elde edilen ϕ(T)=E(W∣T)\phi(T) = E(W \mid T) fonksiyonunun bilinemeyen θ\theta parametresinden bağımsız olarak, sadece örneklemden hesaplanabilmesi için TT'nin yeterli (sufficient) istatistik olması şarttır. Teorem, toplam beklenen değer ve toplam varyans kuralları gereği ϕ(T)\phi(T)'nin yansızlığını koruduğunu ve varyansının ilk tahmin edicinin varyansından her zaman küçük veya ona eşit olduğunu matematiksel olarak kesinleştirir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu beklenen değerin ϕ(T)=E(W∣T)\phi(T) = E(W \mid T) bir istatistik olup olmadığını değerlendir.
Bir ifadenin geçerli bir tahmin edici (istatistik) olabilmesi için bilinmeyen θ\theta parametresini içermemesi gerekir. Bu ancak WW'nin TT bilindiğindeki koşullu dağılımı θ\theta'dan bağımsızsa mümkündür.
Yeterli istatistiğin (sufficient statistic) tanımı gereği, örneklemin TT koşulu altındaki dağılımı parametreden bağımsızdır.
2
ϕ(T)\phi(T)'nin beklenen değerini toplam beklenen değer kuralı ile hesapla.
E[ϕ(T)]=E[E(W∣T)]=E[W]E[\phi(T)] = E[E(W \mid T)] = E[W]. WW yansız olduğu için E[W]=θE[W] = \theta olur, dolayısıyla ϕ(T)\phi(T) de yansızdır.
Rao-Blackwell teoreminin yansızlığı koruma özelliğini matematiksel olarak doğrulamak.
3
ϕ(T)\phi(T)'nin varyansını toplam varyans kuralı ile incele.
Var(W)=Var(E(W∣T))+E[Var(W∣T)]=Var(ϕ(T))+E[Var(W∣T)]Var(W) = Var(E(W \mid T)) + E[Var(W \mid T)] = Var(\phi(T)) + E[Var(W \mid T)]. Varyans negatif olamayacağından Var(ϕ(T))≤Var(W)Var(\phi(T)) \leq Var(W) elde edilir.
Teoremin varyans küçültme (veya koruma) mantığını ispatlamak.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Rao-Blackwell Teoremi

Bu konudan daha fazla soru