Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRao-Blackwell Teoremi

Bir kalite kontrol uzmanı, bir üretim hattındaki kusurlu ürün oranını (θ\theta) tahmin etmek için rastgele bir örneklem çekmiştir. Uzman, θ\theta parametresi için yansız bir tahmin edici olan θ~\tilde{\theta} ile θ\theta için yeterli (sufficient) bir istatistik olan SS'yi kullanarak yeni bir θ∗\theta^* tahmin edicisi oluşturmak istemektedir. Bunun için θ∗=E(θ~∣S)\theta^* = E(\tilde{\theta} \mid S) koşullu beklenen değerini hesaplamıştır.

Rao-Blackwell teoremine göre, oluşturulan bu yeni θ∗\theta^* tahmin edicisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. θ∗\theta^* tahmin edicisi θ\theta için yansızdır ve varyansı θ~\tilde{\theta} tahmin edicisinin varyansına eşit veya ondan daha küçüktür.Cevap
  2. B
    θ∗\theta^*'ın θ\theta için yansız bir tahmin edici olmasını sağlayan zorunlu şart, SS istatistiğinin aynı zamanda tam (complete) olmasıdır.
  3. C
    θ∗\theta^* tahmin edicisinin varyansı, her koşulda kesin olarak Cramer-Rao alt sınırına ulaşır ve her zaman en etkin tahmin edici elde edilir.
  4. D
    Koşullandırma işlemi sonucunda θ∗\theta^*'ın varyansı her zaman artar, ancak hata kareler ortalaması (MSE) sabit kaldığı için istatistiksel açıdan daha etkindir.
  5. E
    θ∗\theta^* tahmin edicisi θ\theta için yansızlığını korur, ancak bu koşullandırma işlemi sonucunda her zaman tutarlılık (consistency) özelliğini kaybeder.

Cevap

θ∗\theta^* tahmin edicisi θ\theta için yansızdır ve varyansı θ~\tilde{\theta} tahmin edicisinin varyansına eşit veya ondan daha küçüktür.
Rao-Blackwell teoremine göre, θ\theta'nın yansız bir tahmin edicisi (θ~\tilde{\theta}), yeterli bir istatistiğe (SS) göre koşullandırılarak yeni bir tahmin edici (θ∗\theta^*) elde edildiğinde; Beklenen Değerin Beklenen Değeri kuralı gereği yeni tahmin edici yansız kalır (E(θ∗)=θE(\theta^*) = \theta). Koşullu varyans teoremi (Eve Yasası) gereği ise yeni tahmin edicinin varyansı ilk tahmin edicinin varyansını geçemez (Var(θ∗)≤Var(θ~)Var(\theta^*) \leq Var(\tilde{\theta})).

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu beklenen değerin (θ∗\theta^*) yansızlığını kontrol et.
E(θ∗)=E[E(θ~∣S)]=E(θ~)=θE(\theta^*) = E[E(\tilde{\theta} \mid S)] = E(\tilde{\theta}) = \theta olarak hesaplanır.
Toplam beklenen değer kuralı (Adam Yasası) gereği, yeni tahmin edicinin beklenen değeri ilk tahmin edicinin beklenen değerine eşittir.
2
Koşullu varyans formülünü (Eve Yasası) kullanarak varyansları karşılaştır.
Var(θ~)=E[Var(θ~∣S)]+Var(E[θ~∣S])=E[Var(θ~∣S)]+Var(θ∗)Var(\tilde{\theta}) = E[Var(\tilde{\theta} \mid S)] + Var(E[\tilde{\theta} \mid S]) = E[Var(\tilde{\theta} \mid S)] + Var(\theta^*) eşitliği yazılır.
Varyansın parçalanması teoremine göre, ilk tahmin edicinin varyansı iki pozitif (veya sıfır) terimin toplamına eşittir.
3
Varyans eşitsizliğini oluştur.
E[Var(θ~∣S)]≥0E[Var(\tilde{\theta} \mid S)] \geq 0 olduğundan, denklem Var(θ~)≥Var(θ∗)Var(\tilde{\theta}) \geq Var(\theta^*) şeklinde özetlenir.
Rao-Blackwell teoreminin temel sonucu olan varyansın küçülmesi (veya aynı kalması) özelliği bu eşitsizlikten elde edilir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell teoreminin yansızlık ve varyans küçültme özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Rao-Blackwell Teoremi

Bu konudan daha fazla soru