Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRao-Blackwell Teoremi

Bir üretim sürecinde hatalı ürün üretme olasılığı pp olup, ardışık üretilen nn (n≥2n \geq 2) adet ürünün hatalı olup olmadığı bağımsız Bernoulli denemeleri olarak X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n şeklinde modellenmektedir. Bu kitleye ait varyans olan θ=p(1−p)\theta = p(1-p) parametresini tahmin etmek için T=X1(1−X2)T = X_1(1-X_2) yansız tahmin edicisi önerilmiştir.

Toplam hatalı ürün sayısı S=∑i=1nXiS = \sum_{i=1}^n X_i'nin pp için yeterli istatistik olduğu bilindiğine göre, Rao-Blackwell teoremi aracılığıyla TT tahmin edicisinden elde edilen ϕ(S)=E(T∣S)\phi(S) = E(T|S) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    S2n2\frac{S^2}{n^2}
  2. S(n−S)n(n−1)\frac{S(n-S)}{n(n-1)}Cevap
  3. C
    S(S−1)n(n−1)\frac{S(S-1)}{n(n-1)}
  4. D
    S(n−S)n2\frac{S(n-S)}{n^2}
  5. E
    Sn\frac{S}{n}

Cevap

Rao-Blackwell teoremi ile elde edilen yansız tahmin edici S(n−S)n(n−1)\frac{S(n-S)}{n(n-1)} şeklindedir.
Rao-Blackwell tahmin edicisini bulmak için ϕ(S)=E(X1(1−X2)∣S)\phi(S) = E(X_1(1-X_2)|S) koşullu beklentisi hesaplanmalıdır. X1X_1 ve X2X_2 değişkenleri Bernoulli dağıldığından, X1(1−X2)X_1(1-X_2) çarpımı sadece X1=1X_1=1 ve X2=0X_2=0 olduğunda 11 değerini alır. Bu nedenle koşullu beklenti, P(X1=1,X2=0∣S=s)P(X_1=1, X_2=0 | S=s) olasılığına eşittir. Yeterli istatistik SS, başarılı deneme sayısıdır. nn denemeden SS tanesi başarılıysa, ilk denemenin başarılı ve ikincisinin başarısız olması durumu, kalan n−2n-2 denemeden S−1S-1 tanesinin başarılı olması ile mümkündür. Bu olasılık kombinatorik yolla (n−2S−1)(nS)\frac{\binom{n-2}{S-1}}{\binom{n}{S}} olarak yazılır. Faktöriyeller açılarak sadeleştirme yapıldığında doğru tahmin edici olan S(n−S)n(n−1)\frac{S(n-S)}{n(n-1)} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu beklenti ifadesini oluşturun.
ϕ(S)=E(X1(1−X2)∣S)\phi(S) = E(X_1(1-X_2) | S)
Rao-Blackwell teoremi, verilen yansız bir tahmin edicinin (TT) yeterli istatistik (SS) üzerine koşullanarak beklentisinin alınmasıyla daha küçük varyanslı yeni bir tahmin edici üretir.
2
Beklenti değerini koşullu olasılık cinsinden yazın.
E(X1(1−X2)∣S=s)=P(X1=1,X2=0∣S=s)E(X_1(1-X_2)|S=s) = P(X_1=1, X_2=0 | S=s)
X1X_1 ve X2X_2 sadece {0,1}\{0, 1\} değerlerini aldığı için X1(1−X2)X_1(1-X_2) ifadesi sadece X1=1X_1=1 ve X2=0X_2=0 durumunda 11, diğer durumlarda 00 değerini alır.
3
Koşullu olasılığı kombinasyonlarla hesaplayın.
P(X1=1,X2=0∣S=s)=(n−2s−1)(ns)P(X_1=1, X_2=0 | S=s) = \frac{\binom{n-2}{s-1}}{\binom{n}{s}}
Toplam nn denemeden ss tanesinin başarılı olduğu biliniyorken, ilk denemenin başarılı ve ikinci denemenin başarısız olması; geriye kalan n−2n-2 denemenin içinden s−1s-1 tanesinin başarılı olması demektir.
4
Kombinasyon oranını faktöriyelleri açarak sadeleştirin.
(n−2)!(s−1)!(n−1−s)!n!s!(n−s)!=s(n−s)n(n−1)\frac{\frac{(n-2)!}{(s-1)!(n-1-s)!}}{\frac{n!}{s!(n-s)!}} = \frac{s(n-s)}{n(n-1)}
Faktöriyel terimleri bölme işleminde ters çevrilip çarpıldığında n!n! ile (n−2)!(n-2)! ve diğer terimler sadeleşerek nihai tahmin edici elde edilir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Koşullu Beklenti
Bu soruyu puanla

Konular

Rao-Blackwell Teoremi

Bu konudan daha fazla soru