Examkin

Soru

Zorluk: Orta(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Tek bir personelin görev yaptığı küçük bir noter veznesine müşteriler saatte ortalama 22 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun varış yapmaktadır. Bir müşterinin işlem süresi ortalama 1515 dakika olup üstel dağılım göstermektedir. Vezne ve bekleme alanı dahil toplam müşteri kapasitesi 33 ile sınırlıdır (yani içeride 33 müşteri varken gelen yeni müşteri sisteme kabul edilmemektedir). Buna göre, gelen bir müşterinin veznenin tam dolu olması nedeniyle sisteme kabul edilmeme (kaybedilme) olasılığı kaçtır?

  1. A
    1/81/8
  2. B
    1/141/14
  3. 1/151/15Cevap
  4. D
    1/161/16
  5. E
    2/152/15

Cevap

Gelen bir müşterinin sistemin tam dolu olması nedeniyle kaybedilme olasılığı 1/151/15 olarak bulunur.
Verilen problemde varış hızı λ=2\lambda=2 ve hizmet hızı μ=4\mu=4 olarak belirlenmiştir. Trafik yoğunluğu ρ=0,5\rho = 0,5 olup sistem kapasitesi K=3K=3'tür. Sonlu kapasiteli tek kanallı kuyruk modellerinde sistemin dolu olma olasılığı PK=P0⋅ρKP_K = P_0 \cdot \rho^K formülü ile hesaplanır. Burada P0=(1−ρ)/(1−ρK+1)P_0 = (1-\rho)/(1-\rho^{K+1}) ifadesinden 8/158/15 olarak bulunur. Bu değer P3=(8/15)⋅(0,5)3P_3 = (8/15) \cdot (0,5)^3 işlemine tabi tutulduğunda 1/151/15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri belirleyin.
lambda=2\\lambda = 2 müşteri/saat, mu=60/15=4\\mu = 60/15 = 4 müşteri/saat, K=3K = 3
Kuyruk modelini analiz etmek için varış hızı, hizmet hızı ve sistem kapasitesinin ortak zaman biriminde olması gerekir.
2
Trafik yoğunluğunu (yoğunluk oranını) hesaplayın.
rho=fraclambdamu=frac24=0,5\\rho = \\frac{\\lambda}{\\mu} = \\frac{2}{4} = 0,5
Sistemin doluluk olasılıklarını hesaplamak için yoğunluk parametresi gereklidir.
3
Sistemde hiç müşteri olmama olasılığını (P0P_0) bulun.
P0=frac1−rho1−rhoK+1=frac1−0,51−0,54=frac0,50,9375=frac815P_0 = \\frac{1-\\rho}{1-\\rho^{K+1}} = \\frac{1-0,5}{1-0,5^4} = \\frac{0,5}{0,9375} = \\frac{8}{15}
(M/M/1/K) modelinde her bir durum olasılığı P0P_0 değerine bağlıdır.
4
Sistemin tam dolu olma olasılığını (P3P_3) hesaplayın.
P3=P0cdotrho3=frac815cdot(0,5)3=frac815cdotfrac18=frac115P_3 = P_0 \\cdot \\rho^3 = \\frac{8}{15} \\cdot (0,5)^3 = \\frac{8}{15} \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{1}{15}
Sistem kapasitesi 33 olduğu için kaybedilme olasılığı P3P_3 değerine eşittir.

Anahtar Kavram

(M/M/1/K) sonlu kapasiteli modelde engellenme olasılığı, sistemin maksimum kapasiteye (KK) ulaşma olasılığına (PKP_K) eşittir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru