Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKanonik Korelasyon Analizinin Amacı ve Varsayımları

Bir araştırmacı, pp boyutlu X\mathbf{X} ve qq boyutlu Y\mathbf{Y} sürekli rasgele vektörleri (değişken setleri) arasındaki ilişki yapısını incelemek amacıyla Kanonik Korelasyon Analizi (KKA) uygulamayı planlamaktadır. Veri setine yönelik yapılan ön incelemede şu bulgular elde edilmiştir:

- Her iki sette yer alan tüm değişkenlerin tek tek marjinal dağılımlarının normal dağılıma uyduğu belirlenmiştir.
- X\mathbf{X} setindeki değişkenler arasında doğrusal bağlantı sorunu yokken, Y\mathbf{Y} setindeki bazı değişkenler arasında mükemmel (tam) doğrusal bağımlılık saptanmıştır.
- Araştırmacının öncelikli amacı, bir setin diğer setin varyansını ne derece açıkladığını bulmaktan ziyade, X\mathbf{X} ve Y\mathbf{Y}'nin doğrusal kombinasyonları arasındaki korelasyonu maksimize etmektir.

Kanonik Korelasyon Analizinin amacı, matematiksel yapısı ve varsayımları göz önüne alındığında, bu araştırma durumuyla ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Y\mathbf{Y} setindeki mükemmel doğrusal bağımlılık, ilgili kovaryans matrisinin tekil olmasına yol açarak tersinin alınmasını engellediğinden KKA denklem sisteminin çözümünü imkânsız kılar; ayrıca marjinal normallik, çıkarsamalı testler için gereken çok değişkenli ortak normalliği garanti etmez.Cevap
  2. B
    Tüm değişkenler marjinal olarak normal dağıldığından çok değişkenli normallik varsayımı da eksiksiz olarak sağlanmış olur; Y\mathbf{Y} setindeki doğrusal bağımlılık ise matris çözümünü engellemez, sadece kanonik katsayıların yorumunu zorlaştırır.
  3. C
    Araştırmada hesaplanacak en büyük kanonik korelasyon katsayısının karesi, X\mathbf{X} setinin Y\mathbf{Y} setindeki toplam varyansın ne kadarını açıkladığını (fazlalık indeksi) her zaman doğrudan vereceğinden analiz mevcut haliyle güvenle uygulanabilir.
  4. D
    Kanonik değişkenleri elde etmek için hesaplanan kanonik ağırlıklar, orijinal değişkenler ile kanonik değişkenler arasındaki korelasyonu (kanonik yükü) doğrudan yansıttığı için, Y\mathbf{Y} setindeki doğrusal bağımlılık istatistiksel çıkarsamayı etkilemez.
  5. E
    Y\mathbf{Y} bağımlı değişken seti sürekli ölçüm düzeyinde olduğundan, her iki setin de sürekli olduğu bu veri yapısında sınıflandırma amacı güdülerek KKA yerine Diskriminant (Ayırma) Analizi uygulanması varsayımsal bir zorunluluktur.

Cevap

Doğru seçenek, Y setindeki mükemmel doğrusal bağımlılığın matris tersini almayı engellediğini ve marjinal normalliğin çok değişkenli ortak normalliği garantilemediğini belirten ifadedir.
Kanonik Korelasyon Analizinde katsayıların hesaplanabilmesi için özdeğer denklem sisteminin çözülmesi gerekir ve bu çözüm Ryy−1\mathbf{R}_{yy}^{-1} (veya Syy−1\mathbf{S}_{yy}^{-1}) matrisini içerir. Veri setinde tam doğrusal bağımlılık bulunması durumunda matris tekil (singüler) olacağından tersi alınamaz ve denklemler çözülemez. Ayrıca, KKA'da kanonik korelasyonların anlamlılık testleri için çok değişkenli ortak normallik şarttır; yalnızca marjinal normallik ile bu varsayım ispatlanmış olmaz.

Adım Adım Çözüm

1
Kanonik Korelasyon Analizinin (KKA) temel matematiksel yapısının incelenmesi.
Kanonik ağırlıkları bulabilmek için kovaryans (veya korelasyon) matrislerinin (özellikle Syy−1\mathbf{S}_{yy}^{-1} ve Sxx−1\mathbf{S}_{xx}^{-1}) tersinin alınabilir olması gerektiği belirlenir.
Mükemmel doğrusal bağımlılık durumunda ilgili matrisin determinantı sıfır olur (tekil matris), bu yüzden tersi alınamaz ve kanonik kökler çözülemez.
2
Çıkarsamalı testler için dağılım varsayımının kontrol edilmesi.
Değişkenlerin tek tek (marjinal) normal dağılmasının, istatistiksel çıkarsamalar (örn. Wilks' Lambda) için zorunlu olan çok değişkenli (ortak) normalliği sağlamadığı tespit edilir.
Çok değişkenli normallik, sadece bileşenlerin normalliğini değil, değişkenlerin tüm doğrusal kombinasyonlarının da normal olmasını gerektirir.
3
Alternatif kavramların (Fazlalık indeksi, kanonik yükler, ayırma analizi) amaca uygunluğunun değerlendirilmesi.
Kanonik korelasyonun açıklanan varyans ile aynı olmadığı ve analiz kısıtlarının diğer seçeneklerde yanlış yorumlandığı doğrulanarak tek doğru ifadenin kaldığı görülür.
KKA metrikleri ile diğer çok değişkenli analiz yöntemlerinin varsayımları elenmiş olur.

Anahtar Kavram

Kanonik Korelasyon Analizi Varsayımları ve Matematiksel Kısıtları
Bu soruyu puanla

Konular

Kanonik Korelasyon Analizinin Amacı ve Varsayımları

Bu konudan daha fazla soru