Kanonik Korelasyon Analizi

82 soru

Bir araştırmacı, $X$ veri setinde yer alan $p=4$ adet psikolojik dayanıklılık alt boyutu ile $Y$ veri setinde yer alan $q=3$ adet iş performansı ölçütü arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla Kanonik Korelasyon Analizi uygulamıştır.

Bu analizde elde edilecek kanonik değişkenler ( $U_i, V_i$ ) ve kanonik korelasyon katsayıları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Kanonik değişkenleri oluşturmak amacıyla orijinal değişkenlerin çarpıldığı doğrusal kombinasyon katsayıları, literatürde 'kanonik yük' (canonical loading) olarak adlandırılır.

Hesaplanan en büyük kanonik korelasyon katsayısının karesi,

X

değişkenler setinin

Y

değişkenler setindeki toplam varyansın ne kadarını açıkladığını gösteren fazlalık indeksine (redundancy index) eşittir.

Elde edilebilecek maksimum kanonik değişken çifti sayısı 3'tür ve farklı sıralı kanonik değişkenler (örneğin

U_1

ile

V_2

) arasındaki korelasyon daima sıfırdır.

Kanonik korelasyon katsayıları,

\Sigma_{XX}^{-1}\Sigma_{XY}\Sigma_{YY}^{-1}\Sigma_{YX}

matrisine ait her bir özdeğerin, matrisin özdeğerler toplamına (iz değerine) bölünmesiyle elde edilir.

Elde edilen tüm kanonik korelasyon katsayılarının karelerinin çarpımı, analize temel oluşturan matrisin köşegen elemanlarının toplamı olan iz (trace) değerine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Elde edilebilecek maksimum kanonik değişken çifti sayısı 3'tür ve farklı sıralı kanonik değişkenler (örneğin $U_1$ ile $V_2$ ) arasındaki korelasyon daima sıfırdır.

Cevap

Elde edilebilecek maksimum kanonik değişken çifti sayısı 3'tür ve farklı sıralı kanonik değişkenler (örneğin

U_1

ile

V_2

) arasındaki korelasyon daima sıfırdır.

Kanonik korelasyon analizinde çıkarılabilecek maksimum kanonik değişken çifti sayısı, iki veri setindeki değişken sayılarından küçük olanı ile sınırlıdır (

\min(p, q)

). Dolayısıyla

\min(4, 3) = 3

'tür. Ayrıca analiz, bilgi tekrarını (çoklu bağlantıyı) önlemek adına her yeni çıkarılan çifti öncekilerle ilişkisiz olacak şekilde türetir; dolayısıyla

i \neq j

olmak üzere

Korelasyon(U_i, V_j) = 0

Korelasyon(U_i, U_j) = 0

özellikleri daima sağlanır.

Adım Adım Çözüm

Kanonik değişken çifti sayısını belirleme.

Maksimum kanonik değişken çifti sayısı

\min(p, q)

formülü ile

\min(4, 3) = 3

olarak bulunur.

Kanonik korelasyon analizinde çıkarılabilecek boyut sayısı, her iki veri setindeki değişken sayılarından küçük veya ona eşit olan kadardır.

Kanonik değişkenler arası ilişkileri (korelasyonları) değerlendirme.

Aynı sıradaki değişkenler (Örn:

U_1

V_1

) arasındaki korelasyon maksimumdur. Ancak farklı sıradaki değişkenler (Örn:

U_1

V_2

veya

U_1

U_2

) arasındaki korelasyon

0

'dır.

Analiz, çıkarılan her yeni kanonik değişken çiftinin daha önceki çiftlerle ortogonal (dik/ilişkisiz) olması varsayımına dayanarak varyansı parçalar.

Anahtar Kavram

Kanonik Değişkenlerin Özellikleri ve Maksimum Çift Sayısı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir insan kaynakları uzmanı, çalışanların "kişilik özellikleri" ( $4$ değişken) ile "iş performansı göstergeleri" ( $3$ değişken) arasındaki yapısal ilişkiyi incelemek amacıyla kanonik korelasyon analizi uygulamıştır. Analiz sürecinde kanonik fonksiyonların istatistiksel anlamlılığını test etmek için ardışık (sequential) Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) istatistiği kullanılmıştır.

Test sonuçlarına göre; tüm fonksiyonların birlikte değerlendirildiği ilk aşamada Wilks' Lambda değeri $\Lambda_1 = 0.15$ ( $p < 0.01$ ) bulunmuştur. Birinci kanonik fonksiyon modelden çıkarıldıktan sonra kalan fonksiyonlar için hesaplanan Wilks' Lambda değeri ise $\Lambda_2 = 0.92$ ( $p = 0.65$ ) olarak elde edilmiştir.

Bu araştırma bulgularına dayanarak yapılabilecek en doğru yorum aşağıdakilerden hangisidir?

İki değişken seti arasındaki istatistiksel olarak anlamlı ilişkinin büyük bir kısmı birinci kanonik fonksiyon tarafından açıklanmaktadır; bu nedenle yalnızca ilk kanonik değişken çiftinin yorumlanması yeterlidir.

İkinci aşamada hesaplanan Wilks' Lambda değerinin

1

'e yakın (

\Lambda_2 = 0.92

) çıkması, geriye kalan kanonik fonksiyonların veri setleri arasındaki ilişkiyi açıklamada oldukça güçlü olduğunu kanıtlar.

İlk aşamadaki

\Lambda_1 = 0.15

değeri, kişilik özellikleri veri setindeki toplam varyansın %15'inin iş performansı göstergeleri tarafından açıklandığını ifade eden fazlalık (redundancy) indeksidir.

Birinci aşamada elde edilen

\Lambda_1 = 0.15

değerinin

0

'a yakın olması, ilk kanonik fonksiyonun ilişkiyi modellemede zayıf kaldığını ve analizden tümüyle dışlanması gerektiğini gösterir.

Wilks' Lambda istatistiği hata ve hipotez matrislerinin iz (trace) değerlerinin toplamına dayandığı için,

\Lambda_2

değeri geriye kalan fonksiyonların toplam varyansının sıfıra yaklaştığını gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İki değişken seti arasındaki istatistiksel olarak anlamlı ilişkinin büyük bir kısmı birinci kanonik fonksiyon tarafından açıklanmaktadır; bu nedenle yalnızca ilk kanonik değişken çiftinin yorumlanması yeterlidir.

Cevap

Doğru cevap, iki değişken seti arasındaki anlamlı ilişkinin yalnızca birinci kanonik fonksiyon tarafından açıklandığını ve sadece bu fonksiyonun yorumlanmasının yeterli olduğunu belirten seçenektir.

Kanonik korelasyon analizinde Wilks' Lambda (

\Lambda

) ardışık olarak hesaplanır ve

0

ile

1

arasında değer alır.

0

'a yaklaşması iki değişken seti arasında güçlü bir ilişki olduğunu,

1

'e yaklaşması ise ilişkinin zayıf veya anlamsız olduğunu gösterir.

\Lambda_1 = 0.15

(

p < 0.01

) değeri, genel modelin anlamlı olduğunu kanıtlar. Birinci kanonik değişken çifti çıkarıldıktan sonra kalan fonksiyonların sınandığı aşamada elde edilen

\Lambda_2 = 0.92

(

p = 0.65

) değeri, geriye kalan fonksiyonların istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki ortaya koyamadığını gösterir. Bu nedenle sadece birinci kanonik fonksiyon anlamlıdır ve yorumlanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

Kanonik korelasyon analizinde Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğinin teorik limitlerini ve anlamını değerlendirmek.

\Lambda

değeri

0

ile

1

arasındadır. Değerin

0

'a yaklaşması ilişkinin güçlü (açıklanmayan varyansın düşük) olduğunu,

1

'e yaklaşması ise ilişkinin zayıf veya yok olduğunu gösterir.

Test istatistiğinin doğasını ve yönünü anlamak doğru yorumlama için ön koşuldur.

Birinci aşamadaki (tüm fonksiyonların dahil olduğu) test istatistiğini ve

p

değerini incelemek.

\Lambda_1 = 0.15

p < 0.01

değerleri anlamlıdır. Bu durum, iki değişken seti arasında istatistiksel olarak anlamlı bir yapısal ilişki bulunduğunu kanıtlar.

Analizin genel olarak anlamlı bir yapı sunup sunmadığını tespit etmek için gereklidir.

İkinci aşamadaki (birinci fonksiyon çıkarıldıktan sonra kalan fonksiyonlar için) test istatistiğini ve

p

değerini incelemek.

\Lambda_2 = 0.92

(

1

'e yakın) ve

p = 0.65

(

> 0.05

) değerleri, geriye kalan kanonik fonksiyonların (köklerin) istatistiksel olarak anlamlı olmadığını gösterir.

İlk fonksiyondan sonra modele anlamlı bir katkı sağlayan başka bir fonksiyon olup olmadığını belirlemek için yapılır.

Elde edilen tüm bulguları sentezleyerek doğru çıkarımı yapmak.

Anlamlı tek ilişkinin birinci kanonik fonksiyon kaynaklı olduğu görülmüştür. Bu sebeple sadece birinci kanonik değişken çifti üzerinden yorumlama yapılması istatistiksel açıdan yeterli ve doğrudur.

Araştırmacının analiz sonrasında uygulayacağı metodolojik adımı belirlemek içindir.

Anahtar Kavram

Kanonik Fonksiyonların Ardışık Anlamlılık Testleri ve Wilks' Lambda Yorumu

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 3Soru →

Bir halk sağlığı uzmanı, ilçeler bazında toplanan "çevresel risk faktörleri" (hava kirliliği, su kalitesi, yeşil alan oranı vb.) ile "solunum yolu hastalıkları yaygınlığı" (astım, KOAH, bronşit vb.) setleri arasındaki çoklu ilişkileri Kanonik Korelasyon Analizi ile modellemektedir. Analiz sonucunda oluşturulan ardışık kanonik fonksiyonların istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığı değerlendirilecektir.

Bu analizde gerçekleştirilecek olan anlamlılık testleri ve Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) istatistiğinin özelliklerine dair aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Wilks' Lambda değerinin sıfıra yaklaşması, değişken setleri arasındaki ilişkinin oldukça güçlü olduğuna işaret eder ve bu değerin anlamlılığı genellikle Bartlett dönüşümü ile ki-kare (

\chi^2

) dağılımı kullanılarak test edilir.

Hesaplanan Wilks' Lambda değerinin bire (1) yaklaşması, elde edilen kanonik korelasyonun çok yüksek olduğunu ve setler arası açıklanan varyansın maksimum seviyeye ulaştığını gösterir.

Ardışık test sürecinde ilgili fonksiyon dışarıda bırakıldıktan sonraki Wilks' Lambda değeri, matrislerin izi (trace) özelliğinden yararlanılarak kalan özdeğerlerin toplanmasıyla elde edilir.

Herhangi bir kanonik fonksiyon için hesaplanan

(1-\Lambda)

değeri, bir değişken setinin diğerindeki toplam varyansı açıklama gücünü özetleyen fazlalık indeksinin (redundancy index) sayısal karşılığıdır.

Çok değişkenli normal dağılım varsayımının şiddetli şekilde ihlal edildiği veri setlerinde, anlamlılık testi için Wilks' Lambda istatistiği Pillai İzi (Pillai's Trace) istatistiğine göre daima daha dirençli (robust) sonuçlar verir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Wilks' Lambda değerinin sıfıra yaklaşması, değişken setleri arasındaki ilişkinin oldukça güçlü olduğuna işaret eder ve bu değerin anlamlılığı genellikle Bartlett dönüşümü ile ki-kare ( $\chi^2$ ) dağılımı kullanılarak test edilir.

Cevap

\chi^2

) dağılımı kullanılarak test edilir.

Kanonik korelasyon analizinde Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiği değişken setleri arasındaki açıklanmayan varyans oranını ifade eder ve 0 ile 1 arasında değer alır. Değerin 0'a yaklaşması, açıklanmayan varyansın azaldığını, dolayısıyla aradaki kanonik ilişkinin güçlü olduğunu kanıtlar. Bu istatistiğin anlamlılık testi ise genellikle Bartlett dönüşümü yardımıyla ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsanarak gerçekleştirilir. Doğru olan tek ifade budur.

Adım Adım Çözüm

Wilks' Lambda istatistiğinin yorumlama yönünü değerlendirmek.

Wilks' Lambda değeri 0 ile 1 arasında değişir; değer 0'a yaklaştıkça ilişkinin (kanonik korelasyonun) güçlü olduğu, 1'e yaklaştıkça ise ilişkinin zayıf olduğu sonucuna varılır.

İstatistiğin 1'e yaklaşmasının yüksek ilişki gösterdiği şeklindeki yaygın yanılgıyı elemek için.

Wilks' Lambda'nın anlamlılık testindeki standart dönüşümünü belirlemek.

Büyük örneklemlerde Bartlett yaklaşımı kullanılarak Wilks' Lambda değeri ki-kare (

\chi^2

) istatistiğine dönüştürülür ve bu şekilde p-değeri hesaplanır.

İstatistiğin tek başına anlamlılık belirtmediğini, bilinen bir teorik dağılıma (ki-kare veya F) dönüştürülerek test edildiğini doğrulamak için.

Diğer seçeneklerde yer alan kavram yanılgılarını kontrol etmek.

Matris izi, fazlalık indeksi ve Pillai İzi kavramlarının Wilks' Lambda'nın özellikleriyle yanlış eşleştirildiği tespit edilir.

Sadece bir seçeneğin kuramsal olarak tamamen doğru olduğundan emin olmak için.

Anahtar Kavram

Kanonik Korelasyonların Anlamlılık Testleri ve Wilks' Lambda Özellikleri

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 4Soru →

Bir araştırmada, $X$ veri seti ( $p=3$ ) ile $Y$ veri seti ( $q=4$ ) arasındaki ilişkiler Kanonik Korelasyon Analizi (KKA) kullanılarak incelenmektedir. Analiz sonucunda, $R_{xx}^{-1} R_{xy} R_{yy}^{-1} R_{yx}$ matrisinin sıfırdan farklı özdeğerleri $\lambda_1 = 0.81$ , $\lambda_2 = 0.49$ ve $\lambda_3 = 0.25$ olarak hesaplanmıştır. $U_i$ ve $V_i$ , sırasıyla $X$ ve $Y$ veri setlerine ait $i$ . kanonik değişkenleri temsil etmektedir.

Buna göre, elde edilen analiz sonuçları bağlamında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

İlk özdeğer olan 0.81 değeri,

X

değişken setindeki toplam varyansın %81'inin

Y

değişken seti tarafından açıklandığını gösteren fazlalık (redundancy) indeksidir.

Kanonik değişkenler oluşturulurken hesaplanan doğrusal birleşim katsayıları (kanonik ağırlıklar), orijinal değişkenler ile kanonik değişkenler arasındaki yapısal korelasyonları (kanonik yükleri) doğrudan ifade eder.

R_{xx}^{-1} R_{xy} R_{yy}^{-1} R_{yx}

matrisi ile çarpanların yer değiştirdiği

R_{yy}^{-1} R_{yx} R_{xx}^{-1} R_{xy}

matrisinin çarpım sırası farklı olduğundan, bu iki matrisin sıfırdan farklı özdeğerleri de birbirinden farklıdır.

En büyük özdeğer olan

\lambda_1 = 0.81

U_1

ile

V_1

kanonik değişkenleri arasındaki ortak varyansı gösterirken; iki veri seti arasındaki maksimum kanonik korelasyon katsayısı 0.90'dır.

Hesaplanan özdeğerlerin toplamı (

\sum \lambda_i = 1.55

), analizde kullanılan toplam değişken sayısına (

p+q=7

) bölündüğünde modelin genel açıklanan varyans oranını verir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: En büyük özdeğer olan $\lambda_1 = 0.81$ , $U_1$ ile $V_1$ kanonik değişkenleri arasındaki ortak varyansı gösterirken; iki veri seti arasındaki maksimum kanonik korelasyon katsayısı 0.90'dır.

Cevap

En büyük özdeğer olan 0.81, birinci kanonik değişken çifti arasındaki ortak varyansı temsil eder ve bu çiftin kanonik korelasyon katsayısı bu değerin karekökü olan 0.90'dır.

Kanonik korelasyon analizinde, karakteristik kökler (özdeğerler,

\lambda_i

), her bir kanonik değişken çifti (

U_i, V_i

) arasındaki kanonik korelasyon katsayısının karesine eşittir (

\lambda_i = r_{ci}^2

). Bu değer, yalnızca bu iki yapay değişken arasındaki açıklanan ortak varyanstır. Birinci (maksimum) kanonik korelasyon katsayısı, en büyük özdeğerin karekökü alınarak

r_{c1} = \sqrt{0.81} = 0.90

olarak bulunur. Dolayısıyla verilen doğru ifade budur.

Adım Adım Çözüm

Özdeğerler ile kanonik korelasyon katsayıları arasındaki ilişkiyi belirleme

\lambda_i = r_{ci}^2

formülü hatırlanır.

KKA'da matris özdeğerleri, kanonik değişken çiftleri arasındaki paylaşılan varyansı (korelasyonun karesini) verir.

Maksimum kanonik korelasyon katsayısını hesaplama

\lambda_1 = 0.81

olduğundan

r_{c1} = \sqrt{0.81} = 0.90

bulunur.

En büyük ilişki birinci kanonik değişken çiftindedir.

Çeldirici kavramların (fazlalık indeksi, kanonik yük) tanımlarını analiz etme

Özdeğerlerin tek başına fazlalık indeksi olmadığı ve ağırlıkların yüklerden farklı olduğu tespit edilir.

Kavramsal karmaşaları elemek ve en doğru ifadeyi teyit etmek için KKA teorisi uygulanır.

Anahtar Kavram

Kanonik değişkenler arası ilişkiler, özdeğerler ve yapısal katsayılar

Soru 5Soru →

Bir araştırmacı, çalışanların iş tatmini göstergeleri (Set 1) ile performans değerlendirme metrikleri (Set 2) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla kanonik korelasyon analizi yürütmektedir. Elde edilen birinci kanonik fonksiyon için kanonik korelasyon katsayısı $0,80$ olarak hesaplanmıştır. İş tatmini setinde yer alan 'ücret memnuniyeti' değişkeninin, kendi setine ait birinci kanonik değişken ile olan yapısal korelasyonu (kanonik yükü) $0,90$ bulunmuştur.

Buna göre, 'ücret memnuniyeti' değişkeninin performans değerlendirme metriklerine ait birinci kanonik değişken üzerindeki çapraz yükü (cross loading) kaçtır ve bu değer istatistiksel olarak neyi ifade etmektedir?

0,72

; ilgili değişkenin diğer sete ait kanonik değişken ile arasındaki korelasyonu ifade eder.

0,90

; ilgili değişkenin kanonik modeli oluştururken aldığı doğrusal birleşim katsayısını (ağırlığını) ifade eder.

0,64

; ilgili değişkenin kendi seti içindeki açıklanan toplam varyans oranını ifade eder.

0,81

; ilgili değişkenin diğer setin tamamı tarafından açıklanan varyans miktarını (fazlalık indeksini) ifade eder.

1,12

; ilgili değişkenin diğer sete kıyasla göreli önem ve katkı düzeyini ifade eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,72$ ; ilgili değişkenin diğer sete ait kanonik değişken ile arasındaki korelasyonu ifade eder.

Cevap

Doğru yanıt

0,72

olup, ilgili değişkenin diğer sete ait kanonik değişken ile arasındaki korelasyonu ifade etmesidir.

Çapraz yük (cross loading), bir sete ait orijinal bir değişkenin, diğer sete ait kanonik değişken ile olan korelasyonudur. Matematiksel olarak, değişkenin kendi kanonik değişkeni ile olan yapısal korelasyonu (kanonik yükü) ile iki setin kanonik değişkenleri arasındaki kanonik korelasyon katsayısının çarpımına eşittir. Verilen değerlerle bu hesaplama

0,90 \times 0,80 = 0,72

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Çapraz yük (cross loading) tanımını ve hesaplama formülünü belirle.

Çapraz Yük = İlgili değişkenin Kanonik Yükü × İki set arasındaki Kanonik Korelasyon Katsayısı

Çapraz yük, bir değişkenin karşı setin kanonik değişkeni ile paylaştığı ortak değişimi bulmak için yapısal korelasyonun (kanonik yükün), setler arası genel ilişki gücü (kanonik korelasyon) ile indirgenmesiyle elde edilir.

Verilen değerleri formülde yerine koyarak matematiksel işlemi gerçekleştir.

0,90 \times 0,80 = 0,72

Soruda kanonik yük

0,90

ve kanonik korelasyon katsayısı

0,80

olarak verilmiştir.

Elde edilen değerin teorik karşılığını tanımla.

Hesaplanan değer (

0,72

), 'ücret memnuniyeti' değişkeninin doğrudan karşı setin (performans değerlendirme metrikleri) birinci kanonik değişkeni ile arasındaki korelasyonu gösterir.

Çapraz yükün istatistiksel yorumu tam olarak budur.

Anahtar Kavram

Kanonik Korelasyon Analizinde Çapraz Yüklerin (Cross Loadings) Hesaplanması ve Yorumlanması

Soru 6Soru →

Bir araştırmacı, bir gruptaki çalışanların psikolojik dayanıklılık özellikleri (X seti: $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ ) ile iş performansları (Y seti: $Y_1$ , $Y_2$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek için Kanonik Korelasyon Analizi uygulamıştır. Birinci kanonik değişken çifti için X setine ait değişkenlerin standardize kanonik ağırlıkları (katsayıları) ve kanonik yükleri (yapı katsayıları) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken	Standardize Kanonik Ağırlık	Kanonik Yük
$X_1$ (İyimserlik)	$0.82$	$0.85$
$X_2$ (Öz-yeterlik)	$-0.54$	$0.71$
$X_3$ (Esneklik)	$0.28$	$0.45$

Tablodaki sonuçlar incelendiğinde, $X_2$ değişkeninin standardize kanonik ağırlığının negatif ( $-0.54$ ), ancak kanonik yükünün pozitif ve yüksek ( $0.71$ ) olduğu görülmektedir.

Buna göre, $X_2$ değişkeninin kanonik ağırlığı ve yükü arasındaki bu zıtlığın istatistiksel açıklaması için aşağıdakilerden hangisi en doğrudur?

X setindeki değişkenler arasında yüksek çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) bulunmaktadır; standardize ağırlık

X_2

'nin diğer değişkenler kontrol edildikten sonraki kısmi katkısını gösterirken, kanonik yük onun kanonik değişkenle olan doğrudan korelasyonunu yansıtır.

Kanonik yük ve kanonik ağırlık aynı kavramı ifade ettiğinden, ağırlığın negatif çıkması değişkenin modele ters yönde katkı sağladığını kesinleştirir; yük değerinin pozitif olması ise hesaplama esnasında kanonik değişkenin işaretinin keyfi olarak atanmasından kaynaklanan bir hatadır.

Değişkenlerin ölçüm birimleri farklı olmasına rağmen analizde korelasyon matrisi yerine kovaryans matrisi kullanılması sonucunda ölçeklendirme eksikliği ortaya çıkmış, bu durum değişkenin ağırlığının yapay bir şekilde negatifleşmesine sebep olmuştur.

Kanonik korelasyon hesaplanırken varyans-kovaryans matrislerinin çarpımında değişme özelliğinin geçerli olduğu varsayılarak işlem yapıldığından, matris cebirine aykırı bu durum katsayı işaretinin tersine dönmesine neden olmuştur.

Kanonik ağırlığın negatif bir değer alması,

X_2

değişkeninin Y seti üzerindeki açıklanan varyans oranını gösteren fazlalık indeksinin (redundancy index) de negatif olmasına yol açarak modelin genel uyumunu düşürmektedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: X setindeki değişkenler arasında yüksek çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) bulunmaktadır; standardize ağırlık $X_2$ 'nin diğer değişkenler kontrol edildikten sonraki kısmi katkısını gösterirken, kanonik yük onun kanonik değişkenle olan doğrudan korelasyonunu yansıtır.

Cevap

X setindeki değişkenler arasında yüksek çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) bulunmaktadır; standardize ağırlık

X_2

'nin diğer değişkenler kontrol edildikten sonraki kısmi katkısını gösterirken, kanonik yük onun kanonik değişkenle olan doğrudan korelasyonunu yansıtır.

Kanonik korelasyon analizinde, standardize kanonik ağırlıklar değişkenlerin kanonik değişkene olan eşsiz (kısmi) katkısını gösterirken, kanonik yükler her bir orijinal değişkenin kanonik değişkenle olan basit doğrusal korelasyonunu ifade eder. Tabloda

X_2

değişkeninin yükünün yüksek pozitif (

0.71

) olmasına karşın ağırlığının negatif (

-0.54

) olması,

X_2

'nin aynı set içindeki diğer değişkenlerle (örneğin

X_1

) yüksek düzeyde çoklu doğrusal bağlantıya (multicollinearity) sahip olduğunu ve analizde muhtemelen bir baskılayıcı (suppressor) rol oynadığını göstermektedir. Bu nedenle doğru yanıt, çoklu doğrusal bağlantı durumunu ve ağırlık/yük kavramları arasındaki yapısal farkı en doğru şekilde açıklayan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

Kanonik ağırlık ve kanonik yük kavramlarının tanımlarını ve farklılıklarını analiz etmek.

Standardize kanonik ağırlıkların çoklu regresyondaki beta katsayıları gibi kısmi etkileri (diğer değişkenler sabitken), kanonik yüklerin ise değişken ile kanonik değişken arasındaki ikili basit korelasyonu ifade ettiği belirlenir.

Değişkenlerin modele katkılarını doğru yorumlamak için iki kavramın istatistiksel anlamlarının açıkça bilinmesi gerekir.

Tablodaki ağırlık ve yük değerleri arasındaki spesifik zıtlığı incelemek.

Öz-yeterlik (

X_2

) değişkeninin kanonik değişkenle pozitif ve yüksek düzeyde ilişkili olduğu (yük = 0.71), ancak kısmi etkisinin negatif (ağırlık = -0.54) olduğu tespit edilir.

Bir değişkenin analizdeki asıl rolünün ve diğer değişkenlerle olan etkileşiminin saptanması için rakamların karşılaştırmalı analizi gereklidir.

Bu zıtlığın istatistiksel temel nedenini literatüre dayandırarak tespit etmek.

Bu durumun değişkenler arası yüksek çoklu doğrusal bağlantıdan (multicollinearity) kaynaklanan bir baskılayıcı değişken (suppressor variable) etkisine işaret ettiği sonucuna varılır.

Çoklu doğrusal bağlantı durumunda standardize katsayıların işaretleri ve büyüklükleri yanıltıcı olabileceğinden, değişkenlerin modele gerçek katkısını değerlendirmede yük değerleri daha güvenilirdir.

Anahtar Kavram

Kanonik Ağırlık ve Kanonik Yüklerin Yorumlanması, Çoklu Doğrusal Bağlantı Etkisi

Soru 7Soru →

Bir istatistikçi, kamu çalışanlarının demografik özellikleri ( $X$ seti) ile iş performans göstergeleri ( $Y$ seti) arasındaki ilişkileri kanonik korelasyon analizi ile incelemektedir.

Yapılan analiz sonucunda birinci kanonik fonksiyon için kanonik korelasyon katsayısı $R_{c1} = 0,70$ olarak tahmin edilmiştir. $X$ veri setinde yer alan $X_1$ değişkeninin, kendi setinden elde edilen birinci kanonik değişken ( $U_1$ ) ile korelasyonunu ifade eden kanonik yük (canonical loading) değeri ise $0,90$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, $X_1$ değişkeninin karşı setten elde edilen birinci kanonik değişken ( $V_1$ ) ile arasındaki ilişkiyi gösteren çapraz yük (cross loading) değeri ve bu istatistiğin doğru tanımı aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

0,63

;

X_1

değişkeni ile karşı setin kanonik değişkeni (

V_1

) arasındaki doğrudan korelasyon katsayısıdır.

0,63

;

X_1

değişkeninin kendi kanonik değişkeni (

U_1

) hesaplanırken kullanılan doğrusal kombinasyondaki ağırlık katsayısıdır.

0,90

;

X_1

değişkeninin birinci kanonik fonksiyona yaptığı benzersiz (marjinal) katkıyı gösteren kanonik çapraz ağırlık değeridir.

0,70

;

X_1

değişkenindeki varyansın

Y

setindeki değişkenler tarafından açıklanan kısmını ifade eden fazlalık (redundancy) indeksidir.

0,81

;

X_1

değişkeninin model genelindeki açıklayıcılığını belirleyen ve kanonik değişkenlerin paylaştığı ortak varyans oranını veren istatistiktir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,63$ ; $X_1$ değişkeni ile karşı setin kanonik değişkeni ( $V_1$ ) arasındaki doğrudan korelasyon katsayısıdır.

Cevap

Çapraz yük değeri 0,63'tür ve bu değer

X_1

değişkeni ile karşı setin kanonik değişkeni (

V_1

) arasındaki doğrudan korelasyon katsayısını ifade eder.

Kanonik korelasyon analizinde çapraz yük (cross loading), bir orijinal değişkenin, diğer veri setinden elde edilen kanonik değişken (varyat) ile olan korelasyonudur. Matematiksel olarak, değişkenin kendi kanonik yükü ile iki set arasındaki kanonik korelasyon katsayısının çarpımına eşittir (

0,90 \times 0,70 = 0,63

). Doğru seçenek, hem

0,63

değerini matematiksel olarak doğru sunmakta hem de bu değerin bir ağırlık değil 'doğrudan korelasyon katsayısı' olduğu tanımını doğru yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

Verilen parametrelerin tanımlanması.

Kanonik korelasyon katsayısı

R_{c1} = 0,70

X_1

değişkeninin kanonik yükü (kendi kanonik değişkeni ile korelasyonu)

= 0,90

olarak belirlenmiştir.

Çapraz yük hesaplamasında hangi verilerin kullanılacağını netleştirmek.

Çapraz yük (cross loading) matematiksel formülünün uygulanması.

Çapraz Yük = Kanonik Yük

\times

Kanonik Korelasyon Katsayısı formülüyle

0,90 \times 0,70 = 0,63

elde edilir.

Bir değişkenin karşı setin kanonik değişkeni ile olan yapısal ilişkisini matematiksel olarak hesaplamak.

Hesaplanan değerin istatistiksel tanımının yapılması.

Bulunan

0,63

değeri,

X_1

orijinal değişkeninin doğrudan

V_1

kanonik değişkeni ile olan korelasyonudur.

Çapraz yükün salt bir sayısal değer olmadığını, değişken ile karşı varyat arasındaki ilişkiyi temsil ettiğini göstermek.

Anahtar Kavram

Kanonik Yükler ve Çapraz Yükler

Soru 8Soru →

Bir araştırmacı, $X$ veri setinde yer alan $p=3$ değişken ile $Y$ veri setinde yer alan $q=4$ değişken arasındaki ilişkiyi incelemek için Kanonik Korelasyon Analizi (KKA) uygulamaktadır. Analiz sonucunda elde edilen $K = R_{XX}^{-1} R_{XY} R_{YY}^{-1} R_{YX}$ matrisinin izi (trace) $1.21$ ve determinantı $0.011664$ olarak hesaplanmıştır.

Araştırmada elde edilen en büyük (birinci) kanonik korelasyon katsayısının $\rho_1 = 0.90$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre; elde edilebilecek maksimum kanonik değişken çifti sayısı, **ikinci kanonik korelasyon katsayısı ( $\rho_2$ )** ve birinci kanonik değişken çiftinin $X$ seti bileşeni ( $U_1$ ) ile ikinci kanonik değişken çiftinin $Y$ seti bileşeni ( $V_2$ ) arasındaki **kovaryans ( $Cov(U_1, V_2)$ )** değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

3 \quad ; \quad 0.60 \quad ; \quad 0

4 \quad ; \quad 0.36 \quad ; \quad 0

7 \quad ; \quad 0.60 \quad ; \quad 0.54

3 \quad ; \quad 0.31 \quad ; \quad 0.90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3 \quad ; \quad 0.60 \quad ; \quad 0$

Cevap

Doğru değerler sırasıyla 3 adet çift, 0.60 korelasyon katsayısı ve 0 kovaryans değeridir.

Doğru seçenekte, değişken setlerinin boyutlarına göre en fazla min(3,4)=3 çift oluşturulacağı doğru tespit edilmiştir. Matrisin izi ve determinantı özellikleri kullanılarak ikinci özdeğer λ2 = 0.36 bulunmuş ve karekökü alınarak ρ2 = 0.60 elde edilmiştir. Son olarak, farklı indisli kanonik değişkenler (U1 ve V2) arasındaki kovaryansın KKA'nın diklik prensibi gereği sıfır olacağı doğru şekilde verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

Maksimum kanonik değişken çifti sayısını belirleme.

min(p, q) = min(3, 4) = 3 çift elde edilir.

Kanonik değişken çifti sayısı, setlerdeki değişken sayılarından küçük veya eşit olanı kadar tanımlanabilir.

Birinci özdeğeri (λ1) hesaplama.

ρ1 = 0.90 olduğundan, λ1 = (0.90)² = 0.81 olarak bulunur.

Kanonik korelasyon katsayıları, K matrisinin özdeğerlerinin pozitif kareköküdür.

Kalan özdeğerlerin toplamını ve çarpımını bulma.

λ2 + λ3 = 1.21 - 0.81 = 0.40 ve λ2 × λ3 = 0.011664 / 0.81 = 0.0144.

Bir matrisin izi (trace) özdeğerlerin toplamına, determinantı ise özdeğerlerin çarpımına eşittir.

İkinci özdeğeri (λ2) ve ikinci kanonik korelasyon katsayısını (ρ2) hesaplama.

x² - 0.40x + 0.0144 = 0 denkleminden kökler 0.36 ve 0.04 bulunur. Büyük olan λ2 = 0.36'dır. Buradan ρ2 = √0.36 = 0.60 elde edilir.

Kanonik korelasyon katsayıları büyüklük sırasına göre dizilir, dolayısıyla ikinci büyük özdeğer seçilir ve karekökü alınır.

Farklı kanonik değişken çiftleri arasındaki kovaryansı belirleme.

Cov(U1, V2) = 0

Kanonik Korelasyon Analizi'nin varsayımı ve kurgusu gereği, farklı indisli (i ≠ j) kanonik değişkenler birbirine ortogonaldir (diktir) ve aralarındaki korelasyon/kovaryans sıfırdır.

Anahtar Kavram

Kanonik Korelasyon Analizinde Özdeğerler, Matris İzi ve Diklik (Ortogonallik) Özellikleri

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 9Soru →

Bir araştırmacı, çalışanların iş tatmini göstergeleri (X seti) ile iş performansı ölçümleri (Y seti) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla kanonik korelasyon analizi gerçekleştirmiştir.

Analiz sonucunda elde edilen birinci kanonik fonksiyona ait kanonik korelasyon katsayısı $0,80$ olarak bulunmuştur. Performans ölçümlerinden oluşan Y setindeki orijinal değişkenlerin, kendi birinci kanonik değişkeni tarafından açıklanan varyans oranı ise $0,45$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, çalışanların iş tatmini göstergelerinin (X seti) oluşturduğu birinci kanonik değişkenin, iş performansı ölçümlerinin (Y seti) toplam varyansını açıklama oranı (fazlalık indeksi - redundancy index) kaçtır?

0,288

0,360

0,450

0,640

0,800

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,288

Cevap

İş performansı ölçümlerinin (Y seti) X seti tarafından açıklanan varyans oranı olan fazlalık indeksi 0,288'dir.

Fazlalık indeksi (Redundancy Index), hedef setin kendi kanonik değişkeni tarafından açıklanan varyans oranı (paylaşılan varyans) ile kanonik korelasyon katsayısının karesinin (

R_c^2

) çarpımına eşittir. Verilen problemde bu değer

0,45 \times (0,80)^2 = 0,288

olarak hesaplanır. Bu sonuç, Y setindeki toplam varyansın %28,8'inin X setinin birinci kanonik değişkeni tarafından açıklandığını ifade eder.

Adım Adım Çözüm

Kanonik korelasyon katsayısının karesini (ortak varyansı) hesapla.

R_c^2 = (0,80)^2 = 0,64

Bir setin kanonik değişkeninin diğer setin kanonik değişkenindeki varyansı ne kadar açıkladığını bulmak için korelasyonun karesi alınmalıdır.

Y setinin kendi içinde açıklanan varyans oranı ile ortak varyansı çarp.

Fazlalık İndeksi

= 0,45 \times 0,64 = 0,288

Y setindeki orijinal değişkenlerin X seti tarafından ne kadar açıklandığını (fazlalık indeksi) bulmak için, Y'nin kendi içindeki açıklanma oranı ile iki setin kanonik değişkenleri arasındaki ortak varyans çarpılır.

Anahtar Kavram

Fazlalık İndeksi (Redundancy Index), bir değişken setindeki varyansın, diğer setteki değişkenlerin oluşturduğu kanonik değişken tarafından ne oranda açıklandığını gösteren istatistiksel bir ölçüdür.

Soru 10Soru →

Bir kamu kurumunda, çalışanların demografik özelliklerini içeren veri seti ( $X$ , $p=5$ değişken) ile iş performansı göstergelerini içeren veri seti ( $Y$ , $q=3$ değişken) arasındaki çok boyutlu ilişkiler Kanonik Korelasyon Analizi (KKA) ile incelenmektedir.
Analiz kapsamında hesaplanan ilgili çapraz çarpım matrisinin (örneğin $\Sigma_{yy}^{-1} \Sigma_{yx} \Sigma_{xx}^{-1} \Sigma_{xy}$ ) en büyük özdeğeri $\lambda_1 = 0.64$ olarak bulunmuştur.

Bu araştırma ve elde edilen bulgular dikkate alındığında, analizden elde edilecek kanonik değişkenler ve korelasyon katsayıları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Birinci kanonik korelasyonun karesi olan

0.64

değeri, demografik özelliklerin iş performansı setindeki toplam varyansın ne kadarını açıkladığını doğrudan veren fazlalık indeksine (redundancy index) eşittir.

Birinci kanonik değişkeni oluşturmak için hesaplanan kanonik ağırlıklar, ilgili kanonik değişkenin kendi veri setindeki orijinal değişkenlerle olan yapısal korelasyonlarını (kanonik yükleri) temsil eder.

Analiz sonucunda en fazla

3

adet kanonik değişken çifti elde edilir ve birinci kanonik korelasyon katsayısı

0.80

'dir.

İlgili matrisin en büyük özdeğeri olan

0.64

doğrudan birinci kanonik korelasyon katsayısını verir ve analizin açıklama oranını bulmak için bu değerin özdeğerler toplamına bölünmesi gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Analiz sonucunda en fazla $3$ adet kanonik değişken çifti elde edilir ve birinci kanonik korelasyon katsayısı $0.80$ 'dir.

Cevap

Analiz sonucunda en fazla

3

adet kanonik değişken çifti elde edilir ve birinci kanonik korelasyon katsayısı

0.80

'dir.

Kanonik korelasyon analizinde elde edilebilecek maksimum kanonik değişken çifti sayısı, işleme giren veri setlerindeki değişken sayılarından küçük olanına eşittir. Veri setlerinde

p=5

q=3

değişken bulunduğundan,

\min(5, 3) = 3

adet çift elde edilir. Kanonik korelasyon katsayısı (

R_c

) ise analiz edilen matrisin özdeğerinin (

\lambda

) karekökü alınarak bulunur. En büyük özdeğer

\lambda_1 = 0.64

olarak verildiği için, birinci kanonik korelasyon katsayısı

\sqrt{0.64} = 0.80

olacaktır. Bu iki bilgiyi doğru şekilde sunan tek seçenek budur.

Adım Adım Çözüm

Elde edilebilecek maksimum kanonik değişken çifti sayısını belirleme

Maksimum çift sayısı =

\min(p, q) = \min(5, 3) = 3

Kanonik korelasyon analizinde bağımsız olarak çıkarılabilecek kanonik değişken çifti sayısı, işleme alınan iki veri setindeki değişken sayılarının minimum değerine eşittir.

Birinci kanonik korelasyon katsayısını (

R_1

) hesaplama

R_1 = \sqrt{\lambda_1} = \sqrt{0.64} = 0.80

Kanonik korelasyon katsayısı, ilgili çapraz çarpım matrisinin elde edilen özdeğerinin kareköküne alınarak bulunur.

Anahtar Kavram

Kanonik Değişken Sayısı ve Özdeğer ile Korelasyon İlişkisi

Alternatif Yöntem

Matematiksel özellikleri ezberlemek yerine, Kanonik Korelasyon Analizinin simetrik bir ilişki arayışı olduğunu ve doğrusal kombinasyonların varyanslarını maksimize ederken en fazla kısıtlı boyut (

q=3

) kadar tam ranklı çözüm sunabileceğini hatırlamak işlemi hızlandırır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir araştırmacı, ilçelerin "eğitim altyapısı yatırımları" (X seti) ile "öğrenci akademik başarı göstergeleri" (Y seti) arasındaki ilişkileri kanonik korelasyon analizi ile incelemektedir.

Analiz sonucunda birinci kanonik fonksiyona ilişkin şu bulgular elde edilmiştir:

* Birinci kanonik korelasyon katsayısı: $R_{c1} = 0,80$
* X setindeki orijinal değişkenlerin kendi birinci kanonik değişkeni ( $U_1$ ) tarafından açıklanan varyans oranı: $0,40$
* Y setindeki orijinal değişkenlerin kendi birinci kanonik değişkeni ( $V_1$ ) tarafından açıklanan varyans oranı: $0,50$

Buna göre, Y seti (öğrenci akademik başarı göstergeleri) için birinci kanonik fonksiyona ait fazlalık indeksi (redundancy index) aşağıdakilerden hangisidir?

0,256

0,32

0,40

0,50

0,64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,32

Cevap

0,32 değeri doğru cevaptır.

Y setinin birinci kanonik fonksiyona ait fazlalık indeksi (redundancy index), Y setinin kendi birinci kanonik değişkeni (

V_1

) tarafından açıklanan varyans oranı ile birinci kanonik korelasyon katsayısının karesinin çarpımına eşittir. Verilen bilgilere göre, Y setinin kendi kanonik değişkenince açıklanan varyans oranı

0,50

ve birinci kanonik korelasyon katsayısı

0,80

'dir. Dolayısıyla fazlalık indeksi hesaplaması

0,50 \times (0,80)^2 = 0,50 \times 0,64 = 0,32

şeklinde yapılır.

Adım Adım Çözüm

Fazlalık indeksinin (Redundancy Index) formülünü belirleyin.

RI_Y = PV_Y \times R_c^2

formülü kullanılır.

Bir setin diğer setin kanonik değişkeni tarafından açıklanan varyansını (fazlalık) bulmak için, o setin kendi kanonik değişkeni tarafından açıklanan varyans oranı (

PV

) ile iki kanonik değişken arasındaki ortak varyans (

R_c^2

) çarpılmalıdır.

Kanonik korelasyon katsayısının karesini (ortak varyans) hesaplayın.

R_c^2 = 0,80^2 = 0,64

elde edilir.

Kanonik korelasyon katsayısı (

R_c

) doğrudan varyans oranını vermez, varyans oranını bulmak için karesi alınmalıdır.

Y seti için fazlalık indeksini hesaplayın.

RI_Y = 0,50 \times 0,64 = 0,32

bulunur.

Y setinin açıklanan varyans oranı

0,50

olarak verilmiştir, ortak varyans ile çarpımı bize Y setinin X setindeki değişkenlerce açıklanan fazlalık indeksini verir.

Anahtar Kavram

Fazlalık İndeksi (Redundancy Index)

Soru 12Soru →

Milli Eğitim Bakanlığı'nda görevli bir araştırmacı, okulların fiziksel altyapı olanakları ( $X$ seti) ile öğrencilerin akademik başarı testlerindeki ortalamaları ( $Y$ seti) arasındaki ilişkiyi incelemek için kanonik korelasyon analizi uygulamaktadır.

Yapılan analiz sonucunda birinci kanonik fonksiyon için kanonik korelasyon katsayısı $0,75$ olarak hesaplanmıştır. $X$ setinde yer alan "laboratuvar kapasitesi" değişkeninin, kendi setinden elde edilen birinci kanonik değişken ( $U_1$ ) ile olan korelasyonu (kanonik yükü) $0,80$ 'dir.

Buna göre, "laboratuvar kapasitesi" değişkeninin birinci çapraz yük (cross loading) değeri kaçtır ve bu değerin istatistiksel tanımı aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

0,60

; İlgili değişkenin, akademik başarı testlerinden (

Y

seti) elde edilen birinci kanonik değişken (

V_1

) ile arasındaki korelasyonu ifade eder.

0,60

; İlgili değişkenin, birinci kanonik değişken (

U_1

) hesaplanırken doğrusal denkleme giren standardize edilmiş ağırlık katsayısıdır.

0,56

; İlgili değişkenin, karşıt setin tümündeki varyansı ne derece açıkladığını gösteren fazlalık indeksi (redundancy index) değeridir.

0,80

; İlgili değişkenin, karşıt setin kanonik değişkenini (

V_1

) yordamadaki göreli önemini belirten kanonik ağırlığıdır.

0,75

; İlgili değişkenin, analizdeki tüm değişkenler üzerinden açıkladığı toplam varyans oranını ifade eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,60$ ; İlgili değişkenin, akademik başarı testlerinden ( $Y$ seti) elde edilen birinci kanonik değişken ( $V_1$ ) ile arasındaki korelasyonu ifade eder.

Cevap

0,60

; İlgili değişkenin, akademik başarı testlerinden (

Y

seti) elde edilen birinci kanonik değişken (

V_1

) ile arasındaki korelasyonu ifade eder.

Çapraz yük (cross loading), bir setteki orijinal değişkenin, diğer sete ait kanonik değişkenle olan korelasyonunu gösterir. Matematiksel olarak, o değişkenin kendi kanonik yükü ile iki set arasındaki kanonik korelasyon katsayısının çarpımına eşittir (

0,80 \times 0,75 = 0,60

). Tanım gereği bu değer, 'laboratuvar kapasitesi' değişkeninin akademik başarı testlerinden elde edilen kanonik değişken (

V_1

) ile korelasyonudur.

Adım Adım Çözüm

Kanonik yük ve çapraz yük (cross loading) kavramlarının tanımlarını belirle.

Kanonik Yük: Değişkenin kendi kanonik değişkeni ile korelasyonu. Çapraz Yük: Değişkenin karşıt setin kanonik değişkeni ile korelasyonu.

Soruda istenen değerin matematiksel ve kavramsal altyapısını kurmak için.

Çapraz yük hesaplama formülünü uygula.

Çapraz Yük = Kanonik Korelasyon Katsayısı (

R_c

)

\times

Kanonik Yük (

L

) formülünden hareketle; Çapraz Yük =

0,75 \times 0,80 = 0,60

bulunur.

Sayısal değeri doğru şekilde elde etmek için.

Elde edilen değerin istatistiksel anlamını oluştur.

0,60

değeri,

X

setindeki 'laboratuvar kapasitesi' değişkeninin,

Y

setini temsil eden

V_1

kanonik değişkeni ile arasındaki doğrusal ilişkinin (korelasyonun) ölçüsüdür.

Seçenekler arasından hem sayısal değeri hem de tanımı doğru veren ifadeyi eşleştirmek için.

Anahtar Kavram

Kanonik Korelasyon Analizinde Çapraz Yük (Cross Loading) Kavramı ve Hesaplanması

Soru 13Soru →

Bir ziraat mühendisi, buğday türlerinin morfolojik özellikleri ( $X$ seti) ile yetiştikleri toprağın kimyasal bileşenleri ( $Y$ seti) arasındaki ilişkiyi incelemek için kanonik korelasyon analizi uygulamaktadır.

Yapılan analiz sonucunda, birinci kanonik fonksiyon için kanonik korelasyon katsayısı $0,65$ olarak hesaplanmıştır. $X$ setinde yer alan "başak uzunluğu" ( $X_2$ ) değişkeninin, kendi seti için oluşturulan birinci kanonik değişken ( $U_1$ ) ile arasındaki korelasyon (kanonik yük) $0,80$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, "başak uzunluğu" ( $X_2$ ) değişkeninin birinci çapraz yük (cross loading) değeri kaçtır ve bu değerin istatistiksel anlamı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

0,52

; ilgili değişkenin (

X_2

), karşı setin kanonik değişkeni (

V_1

) ile arasındaki korelasyonu ifade eder.

0,52

; ilgili değişkenin (

X_2

), karşı setin kanonik değişkenini (

V_1

) oluştururken aldığı standartlaştırılmış regresyon ağırlığını ifade eder.

0,80

; ilgili değişkenin (

X_2

), kendi kanonik değişkenini (

U_1

) belirlemedeki doğrusal katkı payını (ağırlığını) ifade eder.

0,64

; ilgili değişkenin (

X_2

) varyansının, kendi kanonik değişkeni (

U_1

) tarafından açıklanan oranını ifade eder.

0,42

;

X_2

değişkeninin varyansının, karşı setin kanonik değişkeni (

V_1

) tarafından ne kadarının açıklandığını gösteren fazlalık ölçüsünü ifade eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,52$ ; ilgili değişkenin ( $X_2$ ), karşı setin kanonik değişkeni ( $V_1$ ) ile arasındaki korelasyonu ifade eder.

Cevap

Çapraz yük değeri

0,52

'dir ve bu değer ilgili değişkenin karşı setin kanonik değişkeni ile arasındaki basit doğrusal korelasyonu ifade eder.

Çapraz yük (cross loading), bir sete ait orijinal değişkenin (örneğin

X_2

), diğer sete ait kanonik değişken (

V_1

) ile olan korelasyonudur. Matematiksel olarak, ilgili değişkenin kendi kanonik değişkeni ile olan korelasyonu (kanonik yük) ile iki kanonik değişken arasındaki korelasyonun (

R_c

) çarpımına eşittir. Bu soruda hesaplama

0,80 \times 0,65 = 0,52

olarak yapılır ve tanım korelasyon olarak ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

Verilen kanonik yük (0,80) ve kanonik korelasyon (0,65) değerlerini belirle.

Kanonik Yük = 0,80 ve

R_c

= 0,65 olarak tespit edilir.

Çapraz yük hesaplamasında bu iki parametre çarpım durumundadır.

Çapraz yük hesaplama formülünü (Çapraz Yük = Kanonik Yük × Kanonik Korelasyon Katsayısı) uygula.

0,80 \times 0,65 = 0,52

değeri elde edilir.

Çapraz yük, bir orijinal değişkenin kendi kanonik değişkeni üzerinden, karşı setin kanonik değişkenine aktardığı korelasyon miktarıdır.

Elde edilen değerin kavramsal tanımını eşleştir.

Çapraz yük ağırlık (katsayı) veya varyans oranı değil, basit bir 'korelasyon' ölçüsüdür.

Kavramsal hatalara (ağırlıkla karıştırma veya karesini alma) düşmemek için istatistiksel tanımın net yapılması gerekir.

Anahtar Kavram

Kanonik Yük ve Çapraz Yük İlişkisi

Soru 14Soru →

Bir büyükşehir belediyesinde görevli kent plancısı, ilçelerin 'ulaşım ve altyapı olanakları' ( $X$ seti) ile 'çevresel kalite göstergeleri' ( $Y$ seti) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla kanonik korelasyon analizi uygulamıştır.

Analiz sonucunda, birinci kanonik fonksiyon için kanonik korelasyon katsayısı ( $R_{c1}$ ) $0,85$ olarak bulunmuştur. $X$ setinde yer alan 'raylı sistem ağı uzunluğu' ( $X_1$ ) değişkeninin, kendi setinden elde edilen birinci kanonik değişken ( $U_1$ ) ile arasındaki korelasyon (kanonik yük) $0,60$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, $X_1$ değişkeninin karşı setin birinci kanonik değişkeni ( $V_1$ ) ile arasındaki korelasyonu ifade eden çapraz yük (cross-loading) değeri kaçtır?

0,36

0,51

0,60

0,70

0,85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,51$

Cevap

Doğru cevap

0,51

'dir.

Kanonik korelasyon analizinde bir değişkenin çapraz yükü (cross-loading), o değişkenin kendi kanonik değişkeni ile olan korelasyonu (kanonik yük) ile iki set arasındaki kanonik korelasyon katsayısının çarpımına eşittir. Verilen problemde, ilgili değişkenin kanonik yükü

0,60

ve setler arası kanonik korelasyon katsayısı

0,85

olarak verilmiştir. Bu nedenle çapraz yük hesaplaması

0,60 \times 0,85 = 0,51

şeklinde yapılır.

Adım Adım Çözüm

Kanonik yük ve kanonik korelasyon değerlerini belirle.

Kanonik yük =

0,60

, Kanonik korelasyon (

R_{c1}

) =

0,85

Çapraz yük formülünde kullanılacak parametreleri tespit etmek.

Çapraz yük formülünü (Çapraz Yük = Kanonik Yük

\times

Kanonik Korelasyon Katsayısı) uygula.

0,60 \times 0,85 = 0,51

Bir değişkenin karşı setin kanonik değişkeni ile arasındaki korelasyonu (çapraz yükü) hesaplamak.

Anahtar Kavram

Kanonik korelasyon analizinde bir değişkenin çapraz yükünün, kendi kanonik yükü ile seti bağlayan kanonik korelasyon katsayısının çarpımı yoluyla elde edilmesi.

Soru 15Soru →

Çevresel faktörler ( $X$ veri matrisi, $p=6$ değişken) ile çeşitli ağaç türlerine ait fenotipik özellikler ( $Y$ veri matrisi, $q=4$ değişken) arasındaki karmaşık ilişki yapısını modellemek isteyen bir orman mühendisi, Kanonik Korelasyon Analizi (KKA) uygulamıştır. Analiz sürecinde hesaplanan $S_{xx}^{-1} S_{xy} S_{yy}^{-1} S_{yx}$ matrisinin sıfırdan farklı en büyük iki özdeğeri sırasıyla $\lambda_1 = 0.64$ ve $\lambda_2 = 0.36$ olarak elde edilmiştir.

Buna göre, analiz süreci ve elde edilen kanonik değişkenlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

En güçlü ilişkiye sahip birinci kanonik değişken çifti (

U_1

V_1

) arasındaki kanonik korelasyon katsayısı

0.80

'dir.

Birinci kanonik korelasyonun karesi olan

0.64

değeri,

X

veri setinin

Y

veri setindeki toplam varyansın

\%64

'ünü açıkladığını gösteren fazlalık indeksidir.

Orijinal

X

değişkenleri ile bu değişkenlerin doğrusal bileşimi olan birinci kanonik değişken (

U_1

) arasındaki yapısal korelasyonlara kanonik ağırlık denir.

Birinci kanonik değişkenin açıkladığı toplam varyans oranı,

\lambda_1

özdeğerinin analizdeki toplam değişken sayısına (

10

) bölünmesiyle bulunur.

S_{xx}^{-1} S_{xy} S_{yy}^{-1} S_{yx}

matrisi, matris çarpımının değişme özelliğinden dolayı

Y

seti için kullanılan

S_{yy}^{-1} S_{yx} S_{xx}^{-1} S_{xy}

matrisi ile aynı özvektörleri üretir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: En güçlü ilişkiye sahip birinci kanonik değişken çifti ( $U_1$ ve $V_1$ ) arasındaki kanonik korelasyon katsayısı $0.80$ 'dir.

Cevap

En güçlü ilişkiye sahip birinci kanonik değişken çifti (

U_1

V_1

) arasındaki kanonik korelasyon katsayısı

0.80

'dir.

Kanonik Korelasyon Analizinde,

S_{xx}^{-1} S_{xy} S_{yy}^{-1} S_{yx}

matrisinden elde edilen özdeğerler (

\lambda_i

), karşılık gelen kanonik değişken çiftleri (

U_i, V_i

) arasındaki kanonik korelasyon katsayılarının karelerine (

R_{ci}^2

) eşittir. Verilen soruda en büyük özdeğer

\lambda_1 = 0.64

olduğuna göre, birinci kanonik değişken çifti arasındaki korelasyon katsayısı

R_{c1} = \sqrt{0.64} = 0.80

olacaktır. Bu özellik analizin temel matematiksel iskeletini oluşturur.

Adım Adım Çözüm

Kanonik Korelasyon Analizinde karakteristik denklemin özdeğerleri (

\lambda_i

) ile kanonik korelasyon katsayıları (

R_{ci}

) arasındaki matematiksel ilişkiyi tanımla.

Matris sisteminin sıfırdan farklı özdeğerleri, o sıradaki kanonik korelasyon katsayısının karesine eşittir (

\lambda_i = R_{ci}^2

KKA'da temel amaç, iki değişken seti arasındaki korelasyonu maksimize etmektir ve bu optimizasyon probleminin çözümü matris cebirindeki özdeğer problemine dayanır.

Verilen en büyük özdeğeri (

\lambda_1 = 0.64

) kullanarak birinci kanonik korelasyon katsayısını (

R_{c1}

) hesapla.

R_{c1} = \sqrt{\lambda_1} = \sqrt{0.64} = 0.80

olarak hesaplanır.

Özdeğerin karekökü, karşılıklı iki kanonik değişken (varyat) arasındaki maksimize edilmiş Pearson korelasyon katsayısını verir.

Diğer ifadelerin kavramsal doğruluğunu kontrol et.

Yük-ağırlık tanımı, fazlalık indeksi ayrımı, TBA-KKA farkı ve matris değişme özelliklerinin yanlış kullanıldığı tespit edilir.

KKA'nın geçerli olarak yorumlanabilmesi için korelasyon karesi ile fazlalık indeksinin, yapısal yükler ile katsayıların (ağırlıkların) kesin çizgilerle birbirinden ayrılması gerekir.

Anahtar Kavram

Kanonik Korelasyon Analizi Özdeğer ve Katsayı İlişkileri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 16Soru →

Kanonik korelasyon analizi (KKA), iki farklı sürekli değişken seti (örneğin $\mathbf{X}^{(p \times 1)}$ ve $\mathbf{Y}^{(q \times 1)}$ rasgele vektörleri) arasındaki ilişki yapısını inceleyen çok değişkenli bir istatistiksel yöntemdir.

KKA'nın temel optimizasyon amacı ve dayandığı istatistiksel varsayımlar dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Yöntemin asıl amacı, iki değişken setinin doğrusal kombinasyonları arasındaki korelasyonu maksimize etmektir ve parametrik anlamlılık testlerinin güvenilirliği için değişkenlerin tümünün çok değişkenli ortak normal dağılıma sahip olması varsayılır.

İki set arasındaki korelasyonu maksimize etmeyi amaçlayan bu analizde, veri setindeki her bir değişkenin ayrı ayrı marjinal normal dağılım göstermesi, analizin gerektirdiği normallik varsayımının tam olarak sağlanması için yeterlidir.

Yöntemin matematiksel optimizasyon amacı, oluşturulan doğrusal kombinasyonlar aracılığıyla bir setin diğer setteki orijinal değişkenlerin toplam varyansını en yüksek oranda açıklamasını (fazlalık) sağlamaktır.

Kanonik değişkenlerin elde edilebilmesi ve analiz edilebilmesi için, incelemeye alınan setlerden birinin mutlaka kategorik (grup) yapısında, diğerinin ise sürekli ölçme düzeyinde olması zorunludur.

Analizin temel amacı, her iki setteki değişkenleri tek bir matriste birleştirerek toplam veri setindeki varyansı en yüksek oranda açıklayan birbirinden bağımsız (ortogonal) yeni boyutlar elde etmektir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yöntemin asıl amacı, iki değişken setinin doğrusal kombinasyonları arasındaki korelasyonu maksimize etmektir ve parametrik anlamlılık testlerinin güvenilirliği için değişkenlerin tümünün çok değişkenli ortak normal dağılıma sahip olması varsayılır.

Cevap

Kanonik Korelasyon Analizi'nin ayırt edici temel özelliği, varyans açıklamaktan ziyade, önceden tanımlanmış iki sürekli değişken seti arasındaki ilişkisel boyutu (korelasyonu) en yüksek düzeye çıkaracak doğrusal kombinasyonları (

U

V

) elde etmektir. Bu elde edilen korelasyonların popülasyon için genellenebilmesi ve Wilks' Lambda gibi istatistiklerle anlamlılık testlerinin yapılabilmesi için değişkenlerin çok değişkenli ortak normal dağılımdan gelmesi teorik bir zorunluluktur.

Adım Adım Çözüm

Kanonik Korelasyon Analizinin (KKA) teorik amacını belirleme

KKA, X ve Y gibi iki farklı değişken setini tekil değişkenlere (kanonik değişkenler

U=a'X

V=b'Y

) indirgerken, bu iki yeni değişken arasındaki korelasyonu (

Corr(U,V)

) maksimize edecek

a

b

katsayı vektörlerini bulmayı amaçlar.

Yöntemin optimizasyon kriteri varyans açıklamak değil, setler arası maksimum ilişkiyi yakalamaktır.

KKA'nın istatistiksel varsayımlarını değerlendirme

Bulunan kanonik korelasyon katsayılarının evrende sıfırdan farklı olup olmadığını test etmek (anlamlılık testleri) için tüm değişkenlerin (

X

Y

setleri birlikte) çok değişkenli ortak normal dağılım göstermesi varsayılır.

Sadece marjinal normallik çok değişkenli normalliği garanti etmediği için, ortak dağılımın normalliği şarttır.

Seçenekleri analiz amacı ve varsayımlar ışığında eleme

Varyans açıklamayı hedefleyen, marjinal normalliği yeterli gören veya kategorik veri seti şartı koşan ifadeler KKA'nın temel yapısıyla çelişir.

Kavramsal çeldiricilerin (TBA, Diskriminant Analizi, Fazlalık İndeksi) yöntemin asıl amacı ile karıştırılmaması gerekir.

Anahtar Kavram

Kanonik Korelasyon Analizinde Optimizasyon Amacı ve Çok Değişkenli Normallik

Soru 17Soru →

Bir eğitim istatistikçisi, öğrencilerin bilişsel yeteneklerini ölçen $X$ veri seti ( $p=5$ farklı test skoru) ile akademik başarılarını ölçen $Y$ veri seti ( $q=2$ farklı performans göstergesi) arasındaki ilişkiyi Kanonik Korelasyon Analizi (KKA) kullanarak incelemektedir.

Analiz sonucunda elde edilen kanonik köklere (özdeğerlere) ait değerler sırasıyla $\lambda_1 = 0,64$ ve $\lambda_2 = 0,25$ olarak hesaplanmıştır.

Kanonik korelasyon analizinin temel özellikleri ve elde edilen bu değerler dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Birinci kanonik değişken çifti (

U_1

V_1

) arasındaki korelasyon katsayısı

0,80

'dir ve

U_1

ile

V_2

arasındaki korelasyon değeri

0

'dır.

Birinci kanonik değişken çifti arasındaki korelasyon katsayısı

0,64

'tür ve bu değer

Y

setindeki değişkenlerin varyansının ne kadarının

X

seti tarafından açıklandığını gösterir.

Analiz sonucunda en fazla

5

adet kanonik değişken çifti tanımlanabilir ve toplam varyansın

\%64

'ü birinci kanonik değişken çifti tarafından açıklanmaktadır.

Kanonik değişkenleri oluşturmak için kullanılan kanonik ağırlıklar, orijinal değişkenler ile kanonik değişkenler arasındaki korelasyonu doğrudan verir ve bu değer

\lambda_1 = 0,64

'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci kanonik değişken çifti ( $U_1$ ve $V_1$ ) arasındaki korelasyon katsayısı $0,80$ 'dir ve $U_1$ ile $V_2$ arasındaki korelasyon değeri $0$ 'dır.

Cevap

Birinci kanonik değişken çifti (U1 ve V1) arasındaki korelasyon katsayısı 0,80'dir ve çapraz kanonik değişkenler (U1 ile V2) arasındaki korelasyon sıfırdır.

Kanonik korelasyon analizinde (KKA), kanonik korelasyon katsayısı (

R_c

), ilgili özdeğerin (

\lambda

) karekökü alınarak bulunur (

R_{c1} = \sqrt{0,64} = 0,80

). KKA'nın en önemli matematiksel özelliklerinden biri, art arda elde edilen kanonik değişken çiftlerinin birbirine dik (ortogonal) olmasıdır. Bu durum, farklı sıralara sahip kanonik değişkenler (örneğin birinci

X

kanonik değişkeni

U_1

ile ikinci

Y

kanonik değişkeni

V_2

) arasındaki korelasyonun tam olarak

0

olmasını gerektirir. Bu bilgiler ışığında,

U_1

ile

V_1

arasındaki ilişkinin

0,80

ve çapraz çiftler (

U_1

ile

V_2

) arasındaki ilişkinin

0

olduğunu belirten ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Kanonik korelasyon katsayılarının (

R_c

) hesaplanması.

Birinci kanonik korelasyon

R_{c1} = \sqrt{\lambda_1} = \sqrt{0,64} = 0,80

ve ikinci kanonik korelasyon

R_{c2} = \sqrt{\lambda_2} = \sqrt{0,25} = 0,50

olarak bulunur.

Kanonik korelasyon analizinde bir çiftin korelasyon katsayısı, ilgili kanonik kökün (özdeğerin) pozitif kareköküne eşittir.

Maksimum kanonik değişken çifti sayısının belirlenmesi.

Maksimum anlamlı çift sayısı

\min(p, q) = \min(5, 2) = 2

olarak belirlenir.

Elde edilebilecek maksimum kanonik çift sayısı, analize dâhil edilen iki değişken setinden daha az değişkene sahip olanın boyutu kadardır.

Kanonik değişkenler arası ilişkilerin (ortogonallik) değerlendirilmesi.

Aynı sıradaki değişkenler (

U_1, V_1

) yüksek korelasyona sahipken, farklı sıradaki değişkenler (

U_1

ile

V_2

veya

U_1

ile

U_2

) arasındaki korelasyon tam olarak

0

'dır.

KKA'nın temel matematiksel kısıtı gereği, oluşturulan her yeni kanonik değişken çifti diğer tüm çiftlerden bağımsız (ortogonal) olmalıdır.

Anahtar Kavram

Kanonik Değişkenler, Özdeğer İlişkisi ve Ortogonallik Özelliği

Alternatif Yöntem

Matris cebiri mantığıyla düşünürsek; kanonik değişkenler

U = A'X

V = B'Y

olarak tanımlanır.

A

B

vektörleri, aralarındaki korelasyonu maksimize edecek, ancak kendi içlerinde (varyansları 1 ve ortak varyansları 0 olacak şekilde) ortonormal bir sistem oluşturacak biçimde seçilir. Bu seçim gereği

i \neq j

için

Cov(U_i, V_j) = 0

zorunluluğu doğar.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

Bir halk sağlığı araştırmasında, bireylerin "fiziksel aktivite ve beslenme alışkanlıkları" ( $X$ seti) ile "metabolik sendrom göstergeleri" ( $Y$ seti) arasındaki ilişki kanonik korelasyon analizi ile incelenmektedir. Yapılan analiz sonucunda iki set arasındaki birinci kanonik korelasyon katsayısı ( $R_{c1}$ ) $0,80$ olarak hesaplanmıştır.

$X$ setinde yer alan "haftalık kardiyo süresi" değişkeninin, kendi kanonik değişkeni ( $U_1$ ) ile olan korelasyonu (kanonik yükü) $0,85$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, "haftalık kardiyo süresi" değişkeninin çapraz yükü (cross loading) kaçtır ve bu istatistiksel değerin doğru tanımı aşağıdakilerden hangisidir?

0,68

; İlgili orijinal değişkenin, karşı setin kanonik değişkeni (

V_1

) ile olan korelasyonunu gösterir.

0,68

; İlgili orijinal değişkenin, kendi kanonik değişkenini (

U_1

) oluştururken doğrusal fonksiyonda aldığı ağırlık katsayısıdır.

0,46

; İlgili orijinal değişkenin varyansının, karşı setin kanonik değişkeni (

V_1

) tarafından açıklanan oranını (fazlalık payını) ifade eder.

0,85

; İlgili orijinal değişkenin, karşı setin kanonik değişkeni (

V_1

) ile olan korelasyonunu gösterir.

0,64

; İki setin birinci kanonik değişkenleri (

U_1

V_1

) arasındaki ortak varyans miktarını (özdeğeri) ifade eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,68$ ; İlgili orijinal değişkenin, karşı setin kanonik değişkeni ( $V_1$ ) ile olan korelasyonunu gösterir.

Cevap

0,68

değeri bulunur ve bu değer ilgili orijinal değişkenin, karşı setin kanonik değişkeni ile olan korelasyonunu gösterir.

Çapraz yük (cross loading), bir sete ait orijinal değişkenin, diğer setin (karşı setin) kanonik değişkeni ile olan korelasyonudur. Matematiksel olarak, ilgili değişkenin kendi kanonik yükü ile iki set arasındaki kanonik korelasyon katsayısının çarpımına eşittir. Bu soruda

0,85 \times 0,80 = 0,68

hesabı doğru değeri ve ilgili tanım doğru yorumu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

Verilen istatistiksel parametreleri tanımlama

Birinci kanonik korelasyon katsayısı

R_{c1} = 0,80

ve ilgili değişkenin kanonik yükü (kendi kanonik değişkeni ile korelasyonu)

= 0,85

olarak verilmiştir.

Çapraz yük hesaplamasında kullanılacak doğru bileşenleri ayırt etmek.

Çapraz yük (cross loading) matematiksel eşitliğini uygulama

Çapraz Yük = Kanonik Yük

\times

Kanonik Korelasyon Katsayısı işlemi yapılır.

0,85 \times 0,80 = 0,68

bulunur.

Çapraz yük, ilgili değişkenin karşı setin kanonik değişkeni ile ilişkisini, kendi seti üzerinden dolaylı olarak ne kadar taşıdığını gösterir.

Elde edilen çapraz yük değerinin teorik tanımını yapma

Bulunan

0,68

değeri,

X

setindeki "haftalık kardiyo süresi" değişkeni ile

Y

setinin oluşturduğu birinci kanonik değişken (

V_1

) arasındaki doğrudan korelasyondur.

Sınavda sıklıkla ağırlıklar, kanonik yükler ve çapraz yüklerin teorik tanımları birbirine karıştırıldığından kavramsal çerçevenin netleştirilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Kanonik Yükler ve Çapraz Yükler Arasındaki İlişki

Soru 19Soru →

Bir araştırmacı, 81 il için belirlenen sosyoekonomik göstergeler ( $X$ seti: Eğitim düzeyi, Gelir, İşsizlik oranı) ile sağlık göstergeleri ( $Y$ seti) arasındaki ilişkileri incelemek amacıyla Kanonik Korelasyon Analizi uygulamıştır. Veri setindeki farklı ölçüm birimlerinden kaynaklı sapmaları önlemek için analiz öncesinde tüm değişkenler standartlaştırılmıştır.

Araştırmacının elde ettiği birinci kanonik fonksiyona ait $X$ seti standartlaştırılmış kanonik katsayıları (ağırlıkları) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken	Standartlaştırılmış Kanonik Katsayı
$X_1$ (Eğitim)	0,82
$X_2$ (Gelir)	-0,04
$X_3$ (İşsizlik)	-0,51

Buna göre, analiz sonuçlarının yorumlanması ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

X_1

değişkeni, setteki diğer değişkenlerin etkisi kontrol edildiğinde birinci kanonik değişkenin oluşumuna en yüksek eşsiz (kısmi) katkıyı sağlayan değişkendir.

X_2

değişkeninin kanonik katsayısının sıfıra çok yakın olması, bu değişkenin birinci kanonik değişken ile olan yapısal korelasyonunun (kanonik yükünün) da kesinlikle sıfıra yakın olduğunu gösterir.

Analizde standartlaştırılmış değerler yerine orijinal veriler üzerinden hesaplanan ham katsayılar kullanılsaydı, değişkenlerin kanonik değişkene sağladığı göreli önem sıralaması kesinlikle aynı kalırdı.

Tabloda verilen katsayıların karesi alındığında elde edilen değerler,

X

setinin

Y

seti üzerindeki açıklayıcılığını gösteren fazlalık indeksini (redundancy index) ifade eder.

X

setine ait bu üç kanonik ağırlığın aritmetik toplamı, analiz sonucunda iki set arasında elde edilen birinci kanonik korelasyon katsayısına eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_1$ değişkeni, setteki diğer değişkenlerin etkisi kontrol edildiğinde birinci kanonik değişkenin oluşumuna en yüksek eşsiz (kısmi) katkıyı sağlayan değişkendir.

Cevap

Standartlaştırılmış kanonik katsayılar incelendiğinde, X_1 değişkeninin diğer değişkenlerin etkisi kontrol edildiğinde birinci kanonik değişkenin oluşumuna en yüksek eşsiz katkıyı sağladığını ifade eden seçenek doğrudur.

Kanonik Korelasyon Analizinde değişkenler standartlaştırıldığında, elde edilen katsayılar (ağırlıklar) değişkenlerin kanonik değişkene yaptıkları eşsiz (kısmi) katkıları temsil eder. Tıpkı regresyon analizinde olduğu gibi mutlak değerce en büyük katsayıya sahip değişken (bu soruda 0,82 ile X_1), oluşuma en büyük göreli katkıyı sağlar.

Adım Adım Çözüm

Kanonik katsayıların (ağırlıkların) neyi ifade ettiğini belirle.

Standartlaştırılmış kanonik katsayılar, çoklu doğrusal regresyondaki standartlaştırılmış beta katsayılarına benzer şekilde, setteki diğer değişkenlerin etkisi sabit tutulduğunda ilgili değişkenin kanonik değişkene sağladığı kısmi (eşsiz) katkıyı gösterir.

Kavramsal olarak değişkenlerin göreli önemini karşılaştırmak için ağırlıkların tanımının bilinmesi gerekir.

Tablodaki standartlaştırılmış katsayıların mutlak değerlerini karşılaştır.

Mutlak değerler: |0,82| (X_1), |-0,04| (X_2) ve |-0,51| (X_3). En büyük mutlak değer 0,82 ile X_1'e aittir.

Kanonik değişkene yapılan katkının büyüklüğü, katsayının işaretine bakılmaksızın mutlak değerine göre belirlenir.

Kanonik ağırlık ile kanonik yük (yapı katsayısı) arasındaki farkı değerlendir.

Kanonik ağırlık (katsayı) kısmi bir etkidir. Çoklu bağlantı durumunda X_2'nin ağırlığı çok düşük (-0,04) çıksa da, kanonik değişken ile basit korelasyonunu gösteren kanonik yükü yüksek olabilir.

Çeldirici seçeneklerde bu ayrımın sıklıkla test edilmesi nedeniyle doğruluğunun teyit edilmesi şarttır.

Anahtar Kavram

Standartlaştırılmış Kanonik Katsayıların Yorumlanması

Soru 20Soru →

Bir makroekonomik araştırmada, $5$ değişkenli bağımsız değişkenler seti ( $X$ ) ile $3$ değişkenli bağımlı değişkenler seti ( $Y$ ) arasındaki ilişkiler Kanonik Korelasyon Analizi ile incelenmiştir. Analiz sonucunda istatistiksel olarak anlamlı iki kanonik fonksiyon elde edilmiştir.

Bu fonksiyonlara ilişkin bulgular aşağıda verilmiştir:

- Birinci kanonik fonksiyon: Kanonik korelasyon katsayısı ( $R_{c1}$ ) $0,80$ 'dir. Değişkenlerin kendi kanonik değişkenleriyle olan korelasyonlarını ifade eden kanonik yüklerin kareleri toplamı $X$ seti için $2,00$ ; $Y$ seti için $1,80$ 'dir. Ayrıca standartlaştırılmış kanonik ağırlıkların kareleri toplamı $Y$ seti için $1,20$ 'dir.
- İkinci kanonik fonksiyon: Kanonik korelasyon katsayısı ( $R_{c2}$ ) $0,60$ 'tır. Kanonik yüklerin kareleri toplamı $X$ seti için $1,50$ ; $Y$ seti için $0,90$ 'dır. Standartlaştırılmış kanonik ağırlıkların kareleri toplamı ise $Y$ seti için $0,75$ 'tir.

Buna göre, bağımsız değişkenler setinin ( $X$ ), bağımlı değişkenler setindeki ( $Y$ ) varyansın ne kadarını açıkladığını gösteren Toplam Fazlalık İndeksi (Total Redundancy Index) değeri kaçtır?

0,346

0,364

0,492

0,660

1,476

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,492

Cevap

Bağımsız değişkenler setinin (X), bağımlı değişkenler setinde (Y) açıkladığı toplam varyans oranını gösteren Toplam Fazlalık İndeksi değeri 0,492'dir.

Toplam Fazlalık İndeksi (Redundancy Index), bir setin kendi içinde açıkladığı varyans oranı (

PV

) ile kanonik korelasyon katsayısının karesinin (

R_c^2

) çarpılması yoluyla bulunur. Hesaplamada her zaman kanonik ağırlıklar değil, kanonik yüklerin kareleri toplamı kullanılır. İstenen değer Y setindeki varyansın ne kadar açıklandığı olduğundan hesaplamalar Y setinin verileri üzerinden yapılmalıdır. Y seti

3

değişkenden oluştuğu için oranlar

3

'e bölünerek hesaplanır. Birinci fonksiyon için

RI_1 = (1,80 / 3) \times (0,80)^2 = 0,60 \times 0,64 = 0,384

; ikinci fonksiyon için

RI_2 = (0,90 / 3) \times (0,60)^2 = 0,30 \times 0,36 = 0,108

elde edilir. Bu iki değerin toplamı bize hedeflenen Toplam Fazlalık İndeksi olan

0,492

'yi verir.

Adım Adım Çözüm

Kanonik korelasyon katsayılarının karelerinin (paylaşılan varyansların) hesaplanması.

R_{c1}^2 = (0,80)^2 = 0,64

R_{c2}^2 = (0,60)^2 = 0,36

elde edilir.

Fazlalık indeksi (Redundancy Index) formülünde, her bir kanonik fonksiyonun karşılıklı açıkladığı payı bulmak için kanonik korelasyon katsayısının karesi (

R_{c}^2

) kullanılır.

Bağımlı değişkenler seti (

Y

) için her bir fonksiyonun kendi içinde açıkladığı varyans oranının (

PV_{Y}

) bulunması.

Y seti

3

değişkenden oluştuğu için (

p_y = 3

), açıklanan varyans oranları kanonik yüklerin kareleri toplamının

3

'e bölünmesiyle bulunur:

PV_{Y1} = 1,80 / 3 = 0,60

PV_{Y2} = 0,90 / 3 = 0,30

Bir setin kendi kanonik değişkeninde açıkladığı varyans oranını bulmak için standartlaştırılmış ağırlıklar değil, kanonik yükler (korelasyonlar) kullanılmalı ve değişken sayısına bölünmelidir.

Her bir fonksiyon için hedeflenen fazlalık indeksinin (RI) hesaplanması.

RI_1 = PV_{Y1} \times R_{c1}^2 = 0,60 \times 0,64 = 0,384

RI_2 = PV_{Y2} \times R_{c2}^2 = 0,30 \times 0,36 = 0,108

Fazlalık indeksi, setin kendi içinde açıkladığı varyans oranı ile setler arası açıklanan ortak varyansın (

R_c^2

) çarpımıdır.

Toplam Fazlalık İndeksinin bulunması için değerlerin toplanması.

RI_{Toplam} = 0,384 + 0,108 = 0,492

bulunur.

Bağımsız değişkenler setinin (

X

), bağımlı değişkenler setindeki (

Y

) varyansın ne kadarını açıkladığını gösteren toplam oran, tüm anlamlı kanonik fonksiyonların fazlalık indekslerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kanonik Korelasyon Analizinde Fazlalık İndeksi (Redundancy Index) ve Açıklanan Varyans Hesaplaması

Sayfa 1 / 5Sonraki

Kanonik Korelasyon Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap