Varyansı 16 olarak bilinen normal dağılımlı bir kitleden çekilen 16 birimlik rastgele bir … — KPSS İstatistik

Varyansı $16$ olarak bilinen normal dağılımlı bir kitleden çekilen $16$ birimlik rastgele bir örneklemin ortalaması $\bar{X}$ ile gösterilmektedir.

Kitlenin bilinmeyen $\mu$ ortalaması için kurulan $H_0: \mu = 20$ yokluk hipotezi, $H_1: \mu > 20$ alternatif hipotezine karşı test edilecektir.

Bu test için belirlenen ret bölgesi $C = \{ \bar{X} \in \mathbb{R} : \bar{X} > 21,5 \}$ olduğuna göre, $\mu = 22,5$ değeri için testin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

( $Z \sim N(0,1)$ olmak üzere standart normal dağılımın bazı birikimli olasılık değerleri şöyledir: $P(Z \le 1) = 0,8413$ , $P(Z \le 1,5) = 0,9332$ , $P(Z \le 2) = 0,9772$ )

A
$0,0668$
B
$0,1587$
$0,8413$ Cevap
D
$0,9332$
E
$0,9772$

Cevap

0,8413

Testin gücü, alternatif hipotez doğruyken test istatistiğinin ret bölgesine düşme olasılığıdır. Soruda güç,

\mu = 22,5

değeri için istenmektedir ve ret bölgesi

\bar{X} > 21,5

olarak verilmiştir. Buna göre Güç =

P(\bar{X} > 21,5 \mid \mu = 22,5)

şeklinde yazılır. Örneklem ortalaması

\bar{X}

'in standart sapması

\sigma_{\bar{X}} = \sigma / \sqrt{n} = 4 / \sqrt{16} = 1

'dir. Değerler standart normal formata (Z) dönüştürüldüğünde:

P(Z > \frac{21,5 - 22,5}{1}) = P(Z > -1)

elde edilir. Normal dağılımın simetri özelliğinden dolayı

P(Z > -1) = P(Z \le 1)

olur ve soruda verilen bilgi kullanılarak güç

0,8413

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Testin gücü kavramını tanımlamak

Güç = P(H_0 reddedilir | H_1 doğrudur) = P(X_bar > 21,5 | mu = 22,5)

Testin gücü, alternatif hipotezdeki bir değer varsayımı altında, test istatistiğinin belirlenen kritik bölgeye (ret bölgesine) düşme olasılığıdır.

Örneklem ortalamasının standart sapmasını hesaplamak

sigma_{X_bar} = sigma / sqrt(n) = 4 / sqrt(16) = 1

Z dönüşümü yapabilmek için örneklem ortalamasının standart hatasına ihtiyaç vardır.

Standart normal dağılım (Z) dönüşümünü uygulamak

Z = (21,5 - 22,5) / 1 = -1

İhtiyaç duyulan olasılık değerini standart normal dağılım tablosundan okuyabilmek için değişken standardize edilir.

İstenen olasılığı hesaplamak

P(Z > -1) = P(Z <= 1) = 0,8413

Z dağılımı sıfıra göre simetrik olduğundan, P(Z > -1) değeri ile P(Z <= 1) değeri aynıdır ve bu da aranan güç değeridir.

Anahtar Kavram

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru