Examkin

Soru

Zorluk: ZorGüç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Bir XX rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)={e−(x−θ),x≥θ0,dig˘er durumlarda f(x; \theta) = \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x \ge \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen tek bir XX gözlemi kullanılarak H0:θ=0H_0: \theta = 0 yokluk hipotezi, H1:θ>0H_1: \theta > 0 alternatif hipotezine karşı α\alpha anlamlılık düzeyinde test edilmektedir. Belirlenen red bölgesi X>cX > c şeklindedir.

Buna göre, bu testin güç fonksiyonu olan K(θ)K(\theta) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. {αeθ,0<θ≤−ln⁡α1,θ>−ln⁡α \begin{cases} \alpha e^{\theta}, & 0 < \theta \le -\ln \alpha \\ 1, & \theta > -\ln \alpha \end{cases} Cevap
  2. B
    {αe−θ,0<θ≤−ln⁡α1,θ>−ln⁡α \begin{cases} \alpha e^{-\theta}, & 0 < \theta \le -\ln \alpha \\ 1, & \theta > -\ln \alpha \end{cases}
  3. C
    αeθ(tu¨m θ>0 ic¸in) \alpha e^{\theta} \quad (\text{tüm } \theta > 0 \text{ için})
  4. D
    {1−αeθ,0<θ≤−ln⁡α0,θ>−ln⁡α \begin{cases} 1 - \alpha e^{\theta}, & 0 < \theta \le -\ln \alpha \\ 0, & \theta > -\ln \alpha \end{cases}
  5. E
    {e−αθ,0<θ≤−ln⁡α1,θ>−ln⁡α \begin{cases} e^{-\alpha\theta}, & 0 < \theta \le -\ln \alpha \\ 1, & \theta > -\ln \alpha \end{cases}

Cevap

Güç fonksiyonu, 0<θ≤−ln⁡α0 < \theta \le -\ln \alpha aralığında αeθ\alpha e^{\theta}, θ>−ln⁡α\theta > -\ln \alpha aralığında ise 11 olan parçalı fonksiyondur.
Doğru cevap, 0<θ≤−ln⁡α0 < \theta \le -\ln \alpha aralığında αeθ\alpha e^{\theta} olan, ancak θ\theta kritik değer olan −ln⁡α-\ln \alpha'yı geçtiğinde dağılımın tamamı red bölgesinin içine girdiği için 11'e ulaşan parçalı fonksiyondur. Parametrenin destek aralığını (support) belirlediği dağılımlarda (shifted exponential gibi), olasılık fonksiyonu parametre kritik bölge sınırını aştığında kesintiye uğrar ve tam değere (11) ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1
Anlamlılık düzeyi (α\alpha) kullanılarak red bölgesinin sınır değeri olan cc'yi hesaplayınız.
H0H_0 altında θ=0\theta=0'dır ve f(x;0)=e−xf(x; 0) = e^{-x} (x≥0x \ge 0) olur. P(X>c∣θ=0)=α  ⟹  ∫c∞e−xdx=e−c=α  ⟹  c=−ln⁡αP(X > c \mid \theta=0) = \alpha \implies \int_{c}^{\infty} e^{-x} dx = e^{-c} = \alpha \implies c = -\ln \alpha elde edilir.
Kritik bölge sınırı her zaman yokluk hipotezi (H0H_0) doğru varsayılarak Tip I hata olasılığından (α\alpha) bulunur.
2
Alternatif hipotez (H1H_1) altında güç fonksiyonunu, K(θ)=P(X>c∣θ)K(\theta) = P(X > c \mid \theta) tanımından hareketle oluşturunuz.
H1H_1 altında dağılımın tanım aralığı x≥θx \ge \theta'dır. Dolayısıyla P(X>c)P(X > c) ihtimali, θ\theta'nın cc'den küçük veya büyük olmasına göre iki farklı durum gerektirir.
Dağılımın başlangıç noktası parametreye (θ\theta) bağlı olarak kaymaktadır. Bu durum integralin sınırlarını doğrudan etkiler.
3
0<θ≤c0 < \theta \le c (yani 0<θ≤−ln⁡α0 < \theta \le -\ln \alpha) durumu için gücü hesaplayınız.
Bu aralıkta c≥θc \ge \theta olduğundan integral cc'den başlar: K(θ)=∫c∞e−(x−θ)dx=eθ∫c∞e−xdx=eθ⋅e−c=eθ⋅αK(\theta) = \int_{c}^{\infty} e^{-(x-\theta)} dx = e^{\theta} \int_{c}^{\infty} e^{-x} dx = e^{\theta} \cdot e^{-c} = e^{\theta} \cdot \alpha.
Kritik bölge, dağılımın başlangıç noktasının sağında kalmaktadır.
4
θ>c\theta > c (yani θ>−ln⁡α\theta > -\ln \alpha) durumu için gücü hesaplayınız.
Bu durumda rassal değişkenin alabileceği en küçük değer (θ\theta), zaten cc'den büyüktür (X≥θ>cX \ge \theta > c). Gözlemlenen tüm değerler kesinlikle red bölgesine düşeceği için K(θ)=1K(\theta) = 1 olur.
Olay kesin olay haline gelmiş, H0'ı reddetmeme ihtimali sıfırlanmıştır.

Anahtar Kavram

Dağılım desteğinin parametreye bağlı olduğu durumlarda testin gücünün hesaplanması ve kritik bölgeyle olan sınır ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Bu konudan daha fazla soru