Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGüç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Bir fabrikada üretilen elektronik çiplerin kusurlu olma olasılığı pp'dir. Üretim sürecinin kontrolü için rastgele seçilen çipler tek tek incelenmekte ve ilk kusurlu çip bulunana kadar geçen deneme sayısı XX rassal değişkeni ile ifade edilmektedir. XX rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu, x=1,2,…x = 1, 2, \dots olmak üzere P(X=x)=(1−p)x−1pP(X=x) = (1-p)^{x-1}p şeklindedir.

Üretim sürecinde kusur oranının düştüğünü iddia eden bir kalite kontrol uzmanı, H0:p≥0,5H_0: p \ge 0,5 yokluk hipotezine karşı H1:p<0,5H_1: p < 0,5 alternatif hipotezini test etmek istemektedir. Uzman, ilk kusurlu çipi bulmak için 33 veya daha fazla çip incelemesi gerekirse (X≥3X \ge 3) yokluk hipotezini reddedecektir.

Buna göre, gerçek kusur oranının p=0,2p = 0,2 olması durumunda bu testin gücü kaçtır?

  1. A
    0,1280,128
  2. B
    0,2500,250
  3. C
    0,3600,360
  4. 0,6400,640Cevap
  5. E
    0,4880,488

Cevap

Gerçek kusur oranının p=0,2p=0,2 olması durumunda testin gücü 0,6400,640'tır.
Doğru yanıt, alternatif hipotez altındaki gerçek parametre değeri p=0,2p=0,2 iken test istatistiğinin belirlenen red bölgesine (X≥3X \ge 3) düşme olasılığı olan 0,6400,640 değerini göstermektedir. Bu değer tümleyen mantığıyla 1−P(X<3)=1−(0,2+0,16)=0,6401 - P(X < 3) = 1 - (0,2 + 0,16) = 0,640 şeklinde veya geometrik dağılımın P(X≥k)=(1−p)k−1P(X \ge k) = (1-p)^{k-1} doğrudan formülüyle (1−0,2)3−1=0,82=0,640(1-0,2)^{3-1} = 0,8^2 = 0,640 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Testin gücü (Power) tanımını ve red bölgesini belirleme.
Testin Gücü = P(H0 reddedilir∣H1 dog˘rudur)P(H_0 \text{ reddedilir} | H_1 \text{ doğrudur}). Red bölgesi X≥3X \ge 3 olarak verilmiştir. Bu nedenle hesaplanması gereken olasılık P(X≥3∣p=0,2)P(X \ge 3 | p = 0,2)'dir.
Güç fonksiyonu, belirli bir alternatif hipotez parametresi (burada p=0,2p=0,2) altında test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığını ifade eder.
2
Geometrik dağılım fonksiyonunda p=0,2p = 0,2 değerini yerine koyarak istenen olasılığı hesaplama.
P(X≥3)=1−P(X<3)=1−[P(X=1)+P(X=2)]P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=1) + P(X=2)]. Değerleri yerine koyarsak: 1−[0,2+(0,8)1(0,2)]=1−[0,2+0,16]=1−0,36=0,641 - [0,2 + (0,8)^1(0,2)] = 1 - [0,2 + 0,16] = 1 - 0,36 = 0,64.
Sonsuz toplamı (X=3,4,…X=3, 4, \dots) hesaplamak yerine, tümleyen kuralını kullanarak kabul bölgesindeki olasılıkları (X=1,2X=1, 2) 11'den çıkarmak işlemi kolaylaştırır.

Anahtar Kavram

Güç Fonksiyonu (Power Function) ve Testin Gücü

Alternatif Yöntem

Geometrik dağılım mantığıyla, X≥3X \ge 3 olabilmesi için ilk 2 denemenin de mutlaka 'kusursuz' çip ile sonuçlanması gerekir. Bir çipin kusursuz olma olasılığı 1−p=0,81 - p = 0,8'dir. İlk iki çipin ikisinin birden kusursuz gelme olasılığı doğrudan 0,8×0,8=0,6400,8 \times 0,8 = 0,640 olarak pratik şekilde bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Bu konudan daha fazla soru