Bir hastanenin acil servisine belirli bir saat diliminde gelen acil vaka sayısının \lambda… — KPSS İstatistik

Bir hastanenin acil servisine belirli bir saat diliminde gelen acil vaka sayısının $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uyduğu bilinmektedir. Hastane yönetimi, saatlik ortalama vaka sayısına ilişkin $H_0: \lambda = 1$ yokluk hipotezini, $H_1: \lambda = 3$ alternatif hipotezine karşı test etmek istemektedir.

Bu amaçla, rastgele seçilen $n=2$ farklı günde aynı saat aralığında gelen vaka sayıları gözlemlenmiş ve $X_1, X_2$ olmak üzere örneklem toplamı $Y = X_1 + X_2$ istatistiği elde edilmiştir.

Test için aşağıdaki rastgeleleştirilmiş (randomized) karar kuralı

\phi(y)

belirlenmiştir:

\phi(y) = \begin{cases} 1, & y \ge 3 \\ 0,5, & y = 2 \\ 0, & y \le 1 \end{cases}

Buna göre, kurgulanan bu testin gücü (power) aşağıdakilerden hangisidir?

$1 - 16e^{-6}$ Cevap
B
$1 - 25e^{-6}$
C
$1 - 7e^{-6}$
D
$1 - 4e^{-2}$
E
$16e^{-6}$

Cevap

1 - 16e^{-6}

Testin gücü, hipotezi reddetme kuralının alternatif hipotez (

H_1

) altındaki beklenen değeri alınarak bulunur.

H_1

koşulunda

\lambda=3

olduğu için iki gözlemin toplamı olan

Y

, ortalaması

2 \cdot 3 = 6

olan bir Poisson dağılımına uyar. Test fonksiyonunun kuralına göre

Y \ge 3

bölgesi %100 oranında ret getirirken (

P(Y \ge 3)

ile değerlendirilir),

Y=2

sınır koşulu %50 oranında ret getirmektedir. Bu olasılıkların

H_1

dağılımı altında beklenen değeri toplandığında

1 - 16e^{-6}

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Örneklem toplamı istatistiğinin dağılımını belirle.

X_i \sim \text{Poisson}(\lambda)

bağımsız rassal değişkenler olduğundan, örneklem toplamı

Y = X_1 + X_2 \sim \text{Poisson}(2\lambda)

olur.

Bağımsız Poisson rassal değişkenlerinin toplamı, parametrelerinin toplamına sahip yeni bir Poisson değişkeni oluşturur.

Alternatif hipotez altındaki güç fonksiyonunu kurgula.

Testin gücü, test fonksiyonunun

H_1

durumu altındaki beklenen değeridir:

\text{Güç} = E_{\lambda=3}[\phi(Y)]

Rastgeleleştirilmiş testlerde güç, tanımlı karar kuralının (ret olasılıklarının) doğru olduğu varsayılan H1 hipotezi altında beklenen değerini ifade eder.

H_1

altındaki Poisson dağılımı olasılıklarını hesapla.

H_1: \lambda = 3

iken

Y \sim \text{Poisson}(6)

olur.

P(Y=0) = e^{-6}

P(Y=1) = 6e^{-6}

P(Y=2) = 18e^{-6}

bulunur. Buradan tam ret bölgesi olasılığı

P(Y \ge 3) = 1 - P(Y \le 2) = 1 - 25e^{-6}

olur.

Test fonksiyonundaki her bir aralığa denk gelen olayların

H_1

altındaki gerçekleşme olasılıklarına ihtiyacımız vardır.

Beklenen değeri hesaplayarak test gücünü bul.

\text{Güç} = 1 \cdot P(Y \ge 3) + 0,5 \cdot P(Y=2) + 0 \cdot P(Y \le 1) = (1 - 25e^{-6}) + 0,5 \cdot (18e^{-6}) = 1 - 25e^{-6} + 9e^{-6} = 1 - 16e^{-6}

Test istatistiğinin düştüğü bölgeye göre verilen kararların ağırlıklı olasılık toplamı, nihai reddetme olasılığını (testin gücünü) verir.

Anahtar Kavram

Rastgeleleştirilmiş testlerde testin gücü ve Poisson dağılımlarının toplamı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru