Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Bir kamu kurumunda işlem gören belli bir belge türünün onaylanma sürelerinin normal dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Kurumun kalite standartları birimi, işlem sürelerinin kitle varyansı (σ2\sigma^2) için %90\%90 güven düzeyinde bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Bu amaçla rastgele seçilen 1111 belgenin işlem süreleri incelenmiş ve örneklem standart sapması S=6S = 6 dakika olarak hesaplanmıştır.

(χ0,05;102=18,3\chi^2_{0,05; 10} = 18,3 ve χ0,95;102=3,9\chi^2_{0,95; 10} = 3,9 olarak alınacaktır.)

Buna göre, kitle varyansı için hesaplanacak %90\%90'lık güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [36018,3,3603,9]\left[ \frac{360}{18,3} , \frac{360}{3,9} \right]Cevap
  2. B
    [3603,9,36018,3]\left[ \frac{360}{3,9} , \frac{360}{18,3} \right]
  3. C
    [39618,3,3963,9]\left[ \frac{396}{18,3} , \frac{396}{3,9} \right]
  4. D
    [6018,3,603,9]\left[ \frac{60}{18,3} , \frac{60}{3,9} \right]
  5. E
    [36−1,645611,36+1,645611]\left[ 36 - 1,645 \frac{6}{\sqrt{11}} , 36 + 1,645 \frac{6}{\sqrt{11}} \right]

Cevap

Hesaplanacak güven aralığı, pay kısmında 360360 değerinin yer aldığı ve sınırların sırasıyla büyük ve küçük Ki-kare değerlerine bölündüğü [36018,3,3603,9]\left[ \frac{360}{18,3} , \frac{360}{3,9} \right] aralığıdır.
Varyans için güven aralığı hesaplanırken temel formül [(n−1)S2χα/2;n−12,(n−1)S2χ1−α/2;n−12]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right] şeklindedir. Soruda n=11n=11 ve S=6S=6 olarak verildiğinden (n−1)S2=10×36=360(n-1)S^2 = 10 \times 36 = 360 elde edilir. Güven aralığının matematiksel olarak geçerli olması (alt sınırın üst sınırdan küçük olması) için büyük Ki-kare kritik değeri (χ0,05;102=18,3\chi^2_{0,05; 10} = 18,3) sol taraftaki alt sınırın paydasına, küçük olan Ki-kare kritik değeri (χ0,95;102=3,9\chi^2_{0,95; 10} = 3,9) ise sağ taraftaki üst sınırın paydasına yerleştirilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parametrelerin tespit edilmesi ve formülün belirlenmesi.
Örneklem hacmi n=11n = 11, standart sapma S=6S = 6 (dolayısıyla örneklem varyansı S2=36S^2 = 36), güven düzeyi 1−α=0,901-\alpha = 0,90 (böylece α/2=0,05\alpha/2 = 0,05). Kullanılacak formül: [(n−1)S2χα/2;n−12,(n−1)S2χ1−α/2;n−12]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]
Normal dağılan bir kitlede varyans tahmini, (n−1)S2/σ2∼χn−12(n-1)S^2 / \sigma^2 \sim \chi^2_{n-1} pivot fonksiyonuna dayanır.
2
Serbestlik derecesi ve güven aralığı formülünün pay kısmının hesaplanması.
Serbestlik derecesi v=11−1=10v = 11 - 1 = 10. Pay kısmı =(n−1)S2=10×36=360= (n-1)S^2 = 10 \times 36 = 360.
Ki-kare dağılımında serbestlik derecesi n−1n-1'dir ve örneklem varyansı S2S^2, n−1n-1 çarpanı ile ağırlıklandırılır.
3
Kritik Ki-kare değerlerinin formülde doğru yerlerine yerleştirilerek aralığın elde edilmesi.
Verilen kritik değerler χ0,05;102=18,3\chi^2_{0,05; 10} = 18,3 ve χ0,95;102=3,9\chi^2_{0,95; 10} = 3,9'dur. Matematiksel olarak alt sınırı küçültmek için daha büyük olan 18,318,3 değeri paydaya, üst sınırı büyütmek için küçük olan 3,93,9 değeri paydaya yazılır. Sonuç: [36018,3,3603,9]\left[ \frac{360}{18,3} , \frac{360}{3,9} \right]
Eşitsizlikte alt ve üst sınırlar oluşturulurken bölme işleminin mantığı gereği, büyük payda küçük kesre, küçük payda büyük kesre karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru