Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOrtogonal ve İdempotent Matrisler

İstatistiksel modellemede ve veri dönüşümlerinde sıklıkla özel matris yapıları kullanılmaktadır. M\mathbf{M}, p×pp \times p boyutlu, rankı rr (0<r<p0 < r < p) olan bir dik izdüşüm (ortogonal projeksiyon) matrisini; K\mathbf{K} ise p×pp \times p boyutlu bir ortogonal matrisi temsil etmektedir.

Buna göre, M\mathbf{M} ve K\mathbf{K} matrislerinin özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    M\mathbf{M} matrisinin izi (trace), matrisin rankı olan rr değerine eşittir.
  2. B
    K\mathbf{K} matrisinin determinantı her zaman +1 veya -1 değerini alır.
  3. M\mathbf{M} ve K\mathbf{K} matrislerinin çarpımının transpozu, matrislerin kendi transpozlarının aynı sırayla çarpımına eşittir ((MK)′=M′K′(\mathbf{M}\mathbf{K})' = \mathbf{M}'\mathbf{K}').Cevap
  4. D
    I\mathbf{I}, p×pp \times p boyutlu birim matris olmak üzere; I−M\mathbf{I} - \mathbf{M} matrisi de hem simetrik hem de idempotent özellik gösterir.
  5. E
    K\mathbf{K} matrisinin tersi, kendi transpozuna eşit olup K′K=I\mathbf{K}'\mathbf{K} = \mathbf{I} eşitliğini sağlar.

Cevap

Yanlış olan ifade, matris çarpımının transpozunun matrislerin kendi transpozlarının aynı sırayla çarpımına eşit olduğunu belirten ifadedir.
Matris cebirinde iki matrisin çarpımının transpozu hesaplanırken, matrislerin yer değiştirmesi (çarpım sırasının tersine dönmesi) kuralı geçerlidir. Yani (MK)′(\mathbf{M}\mathbf{K})' işlemi K′M′\mathbf{K}'\mathbf{M}' şeklindedir. Matris çarpımında değişme özelliği her zaman sağlanmadığı için çarpım sırasını aynı bırakan eşitlik yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Dik izdüşüm matrisinin iz (trace) ve rank ilişkisini incelemek.
İdempotent matrislerde iz değerinin ranka eşit olduğu belirlenir (tr(M)=rtr(\mathbf{M}) = r).
İdempotent matrislerin özdeğerleri 0 veya 1'dir, bu nedenle özdeğerler toplamı (iz) matrisin rankını verir.
2
Ortogonal matrislerin temel özelliklerini değerlendirmek.
Determinantının ±1\pm 1 olduğu ve tersinin transpozuna eşit olduğu (K−1=K′\mathbf{K}^{-1} = \mathbf{K}') doğrulanır.
KK′=I\mathbf{K}\mathbf{K}' = \mathbf{I} eşitliğinin bir sonucudur.
3
Matris çarpımının transpozu kuralını uygulamak.
İki matrisin çarpımının transpozunun (MK)′=K′M′(\mathbf{M}\mathbf{K})' = \mathbf{K}'\mathbf{M}' olması gerektiği tespit edilir.
Matris cebirinde, çarpımın transpozu alınırken matrislerin sırası yer değiştirmelidir.

Anahtar Kavram

İdempotent, simetrik ve ortogonal matrislerin cebirsel özellikleri ve işlemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Ortogonal ve İdempotent Matrisler

Bu konudan daha fazla soru