Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOrtogonal ve İdempotent Matrisler

XX, n×pn \times p boyutlu (p<np < n) ve tam sütun ranklı bir veri matrisi olmak üzere, doğrusal regresyon ve çok değişkenli analizde sıklıkla kullanılan H=X(XTX)−1XTH = X(X^T X)^{-1} X^T izdüşüm (şapka) matrisi tanımlanıyor. Ayrıca PP, n×nn \times n boyutlu bir ortogonal matristir.

M=PHPTM = P H P^T dönüştürme işlemiyle yeni bir MM matrisi elde ediliyor.

Buna göre, matris cebiri özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    MM matrisinin izi (trace), XX matrisinin sütun sayısına (pp) eşittir.
  2. PP matrisinin determinantı mutlak değerce 11 ve MM idempotent bir matris olduğu için, MM matrisinin determinantı 11'dir.Cevap
  3. C
    MM matrisi, hem simetrik (MT=MM^T = M) hem de idempotent (M2=MM^2 = M) olma özelliklerini korur.
  4. D
    HH matrisi simetrik olduğu için (HP)T=PTH(HP)^T = P^T H eşitliği sağlanır, ancak bu durum HH ile PP matrislerinin çarpma işlemine göre yer değiştirebildiğini (HP=PHHP = PH) garanti etmez.
  5. E
    II, n×nn \times n boyutlu birim matris olmak üzere; (I−M)(I - M) matrisinin izi n−pn - p'dir.

Cevap

P matrisinin determinantı mutlak değerce 1 ve M idempotent bir matris olduğu için, M matrisinin determinantı 1'dir. ifadesi yanlıştır.
Verilen ifadeler arasında yanlış olan seçenek, MM matrisinin determinantının 11 olduğunu iddia eden seçenektir. M=PHPTM = P H P^T matrisinin determinantı hesaplanırken çarpım kuralı gereği ∣M∣=∣P∣⋅∣H∣⋅∣PT∣|M| = |P| \cdot |H| \cdot |P^T| yazılır. PP ortogonal olduğu için ∣P∣⋅∣PT∣=1|P| \cdot |P^T| = 1 olsa da, HH matrisi rankı p<np < n olan idempotent bir matristir. Bir matrisin rankı boyutundan küçükse determinantı 00'dır (∣H∣=0|H| = 0). Bu nedenle ∣M∣=1⋅0=0|M| = 1 \cdot 0 = 0 bulunur. İdempotent matrislerin izleri (toplamları) ranka eşitken, determinantları (çarpımları) sadece birim matris olduklarında 11 olur, aksi halde 00'dır.

Adım Adım Çözüm

1
HH matrisinin özelliklerini analiz etme
HH matrisi simetrik, idempotent ve rank(H)=tr(H)=prank(H) = tr(H) = p'dir.
İzdüşüm (projeksiyon) matrislerinin tanımı ve XX matrisinin pp adet bağımsız sütunu olmasından dolayı.
2
M=PHPTM = P H P^T matrisinin determinantını hesaplama
∣M∣=∣PHPT∣=∣P∣⋅∣H∣⋅∣PT∣|M| = |P H P^T| = |P| \cdot |H| \cdot |P^T| denklemi elde edilir.
Determinant fonksiyonunun çarpımsal özelliğini (∣ABC∣=∣A∣∣B∣∣C∣|ABC| = |A||B||C|) kullanarak.
3
Çarpanların determinant değerlerini yerine koyma
PP ortogonal olduğundan ∣P∣⋅∣PT∣=1|P| \cdot |P^T| = 1'dir. HH idempotenttir ve rankı p<np < n olduğundan en az bir özdeğeri 00'dır, dolayısıyla ∣H∣=0|H| = 0'dır.
Tam ranklı olmayan (p<np < n) kare matrislerin determinantı her zaman 00'a eşittir.
4
Sonucu değerlendirme
∣M∣=1⋅0=0|M| = 1 \cdot 0 = 0 bulunur. Bu nedenle ∣M∣=1|M| = 1 iddiası matematiksel olarak yanlıştır.
İdempotent matrislerin determinantının sadece birim matris olduklarında 11 olacağı kuralı unutulmamalıdır.

Anahtar Kavram

İdempotent ve Ortogonal Matrislerin İz ve Determinant Özellikleri

Daha Fazla Pratik

İdempotent matrislerin özdeğer ve özvektörlerinin spektral ayrışım içindeki rollerini inceleyen sorular çözülmesi tavsiye edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortogonal ve İdempotent Matrisler

Bu konudan daha fazla soru