Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOrtogonal ve İdempotent Matrisler

Doğrusal modellerin kestiriminde ve çok değişkenli tekniklerde kullanılan çeşitli kare matrisler, kendilerine has yapısal özelliklere sahiptir. n×nn \times n boyutlu M\mathbf{M} matrisi, rankı kk (k<nk < n) olan bir projeksiyon (izdüşüm) matrisidir. n×nn \times n boyutlu P\mathbf{P} matrisi ise satır ve sütun vektörleri birbirine dik birim vektörlerden oluşan bir ortogonal matristir.

Bu matrislerin cebirsel yapıları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

  1. A
    M\mathbf{M} matrisinin köşegen üzerindeki elemanlarının toplamı (izi), matrisin rankı olan kk değerine eşittir.
  2. B
    P\mathbf{P} matrisinin determinantının alabileceği değerler yalnızca +1+1 veya −1-1'dir.
  3. C
    M\mathbf{M} matrisi projeksiyon matrisi olarak hem simetrik hem de idempotent özelliğe sahip olduğundan MTM=M\mathbf{M}^T \mathbf{M} = \mathbf{M} eşitliği sağlanır.
  4. Bir projeksiyon matrisi olan M\mathbf{M} için ters matris işlemi, transpoz işlemine denk olup M−1=MT\mathbf{M}^{-1} = \mathbf{M}^T özelliği geçerlidir.Cevap
  5. E
    Tam ranklı olmayan M\mathbf{M} matrisinin determinantı sıfırdır ve çarpım matrisinin determinant kuralı gereği ∣MP∣=0|\mathbf{M} \mathbf{P}| = 0 olur.

Cevap

Projeksiyon matrisi olan M için ters matris işleminin transpoz işlemine denk olduğunu belirten ifadedir.
Doğru cevap, M\mathbf{M} matrisinin tersinin kendi transpozuna eşit olduğunu iddia eden ifadedir. Bu ifade iki yönden kesinlikle yanlıştır: Birincisi, M\mathbf{M} matrisinin rankı nn'den küçük (k<nk < n) verildiği için matris tekildir (determinantı 0'dır) ve hiçbir şekilde tersi (inverse) alınamaz. İkincisi, bir matrisin tersinin transpozuna eşit olması (A−1=AT\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^T) projeksiyon veya idempotent matrislerin değil, ortogonal matrislerin (sorudaki P\mathbf{P} matrisi gibi) temel bir özelliğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Matrislerin temel tanımlarını ve kısıtlarını analiz etme
M\mathbf{M} matrisi simetrik (MT=M\mathbf{M}^T = \mathbf{M}) ve idempotenttir (M2=M\mathbf{M}^2 = \mathbf{M}). Ayrıca rankı eksik (k<nk < n) olduğu için tekildir. P\mathbf{P} matrisi ise ortogonaldır (PTP=I\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}).
Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu test etmek için matrislerin cebirsel yapısını netleştirmek gerekir.
2
Doğru özelliklere sahip seçenekleri eleme
İzin ranka eşitliği, ortogonal determinantın ±1\pm 1 olması, çarpım kuralı (MTM=M\mathbf{M}^T \mathbf{M} = \mathbf{M}) ve ∣MP∣=0|\mathbf{M}\mathbf{P}| = 0 eşitlikleri teorik olarak doğrulanır.
Soru bizden kesinlikle yanlış olan ifadeyi bulmamızı istemektedir.
3
Ters matris ve transpoz ilişkisini değerlendirme
M\mathbf{M} matrisinin rankı nn'den küçük olduğu için determinantı sıfırdır ve tersi (M−1\mathbf{M}^{-1}) mevcut değildir. Ayrıca A−1=AT\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^T özelliği projeksiyon matrislerine değil, ortogonal matrislere aittir.
Yanlış olan ifade, hem matrisin tersinin alınabilirliğini hatalı varsaymakta hem de farklı bir matris türünün özelliğini atfetmektedir.

Anahtar Kavram

Projeksiyon, İdempotent ve Ortogonal Matris Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Ortogonal ve İdempotent Matrisler

Bu konudan daha fazla soru