Çok değişkenli istatistiksel analizlerde dönüştürme ve izdüşüm işlemleri matris cebiri kur… — KPSS İstatistik

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde dönüştürme ve izdüşüm işlemleri matris cebiri kurallarına dayanır. $\mathbf{P}$ , $n \times n$ boyutlu bir ortogonal matris ve $\mathbf{M}$ , rankı $r$ ( $0 < r < n$ ) olan $n \times n$ boyutlu simetrik ve idempotent bir matris olsun.

\mathbf{H} = \mathbf{P} \mathbf{M} \mathbf{P}^T

eşitliği ile tanımlanan

\mathbf{H}

matrisi için aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

A
$|\mathbf{H}| = |\mathbf{P}|$
B
$\mathbf{H} \mathbf{P} = \mathbf{M} \mathbf{P}$
C
$\mathbf{H}^T \mathbf{H} = \mathbf{I}$
D
$rank(\mathbf{H}) = tr(\mathbf{P})$
$tr(\mathbf{H}) = rank(\mathbf{M})$ Cevap

Cevap

tr(\mathbf{H}) = rank(\mathbf{M})

eşitliği her zaman doğrudur.

Verilen eşitlikte iki tarafın da izini (trace) aldığımızda, iz operatörünün döngüsel özelliği gereği matrislerin sırası değiştirilebilir.

\mathbf{P}

ortogonal olduğu için

\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}

elde edilir. Böylece

\mathbf{H}

matrisinin izi

\mathbf{M}

matrisinin izine eşit olur.

\mathbf{M}

matrisi idempotent bir projeksiyon matrisi olduğundan, izi her zaman rankına eşittir. Dolayısıyla ifade matematiksel olarak kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Matrislerin temel özelliklerini belirleme

\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}

\mathbf{M}^2 = \mathbf{M}

\mathbf{M}^T = \mathbf{M}

tr(\mathbf{M}) = rank(\mathbf{M})

eşitlikleri yazılır.

\mathbf{P}

'nin ortogonal,

\mathbf{M}

'nin simetrik ve idempotent bir projeksiyon matrisi olmasından dolayı.

İz operatörünün döngüsel (cyclic) özelliğini uygulama

tr(\mathbf{H}) = tr(\mathbf{P} \mathbf{M} \mathbf{P}^T) = tr(\mathbf{P}^T \mathbf{P} \mathbf{M})

şeklinde yeniden yazılır.

tr(\mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{C}) = tr(\mathbf{C} \mathbf{A} \mathbf{B})

kuralı matris çarpımının izi için geçerlidir.

İz eşitliğini sadeleştirme

\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}

olduğundan, denklem

tr(\mathbf{I} \mathbf{M}) = tr(\mathbf{M})

haline gelir.

Ortogonal matrislerin tersi transpozuna eşittir.

İz ve rank ilişkisini kurma

tr(\mathbf{H}) = tr(\mathbf{M}) = rank(\mathbf{M})

sonucuna ulaşılır.

İdempotent matrislerde iz değeri daima matrisin rankına eşittir.

Anahtar Kavram

İdempotent ve Ortogonal Matrislerin İz ve Rank Özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru