Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇoklu Doğrusal Regresyon Modeli ve Varsayımları

Bir araştırmacı, nn birimlik bir örneklem üzerinden kk adet bağımsız değişken içeren Y=Xβ+uY = X\beta + u çoklu doğrusal regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir.

Yapılan varsayım kontrollerinde; bağımsız değişkenlerin hata terimi ile ilişkisiz olduğu (E(u∣X)=0E(u|X)=0) ve hata terimleri arasında ardışık bağımlılık bulunmadığı (Cov(ui,uj∣X)=0,i≠jCov(u_i, u_j|X)=0, i \neq j) tespit edilmiştir. Ancak, modeldeki bağımsız değişkenlerden birinin değeri büyüdükçe, hata terimlerinin varyansının da sistematik olarak arttığı gözlemlenmiştir.

Gauss-Markov teoremi ve klasik regresyon varsayımları çerçevesinde, ortaya çıkan bu durumun EKK tahmin edicileri (β^\hat{\beta}) ve istatistiksel sonuçlar üzerindeki etkisiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. EKK tahmin edicileri sapmasızlık (unbiasedness) özelliğini korur; ancak en küçük varyanslı (etkin) olma özelliğini yitirir ve tahmin edilen standart hatalar güvenilir olmayacağından istatistiksel testler (tt ve FF) geçersiz hale gelir.Cevap
  2. B
    Hata terimlerindeki bu sistematik varyans değişimi, tahmin edicilerin etkinlik özelliğini etkilemezken, katsayıların beklenen değerinin gerçek parametrelerden sapmasına (biased) neden olur.
  3. C
    Bu gözlem, bağımsız değişkenler arasında yüksek derecede çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) bulunduğunun kanıtıdır ve katsayı tahminlerinin sapmalı hesaplanmasına yol açar.
  4. D
    Değişen varyans varlığında EKK tahmin edicileri "En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici" (BLUE) olmaya devam eder, fakat bireysel katsayı testleri için tt testi yerine FF testinin kullanılması zorunlu olur.
  5. E
    Hata terimleri arasında ardışık bağımlılık (otokorelasyon) bulunmadığı bilindiğinden, değişen varyans tespit edilse dahi EKK tahmin edicileri minimum varyanslı (etkin) olma özelliğini kesinlikle sürdürür.

Cevap

EKK tahmin edicileri sapmasızlık özelliğini korur; ancak etkin olma özelliğini yitirir ve tahmin edilen standart hatalar güvenilir olmayacağından istatistiksel testler geçersiz hale gelir.
Soruda tanımlanan durum değişen varyans (heteroskedastisite) problemidir. Gauss-Markov teoremine göre, E(u∣X)=0E(u|X)=0 varsayımı sağlandığı sürece EKK tahmin edicileri sapmasızlık (unbiasedness) özelliğini korur. Ancak tahmin edicilerin, tüm doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahip (etkin/BLUE) olabilmesi için hata terimlerinin varyansının sabit olması zorunludur. Varyans değiştiğinde tahmin ediciler etkinliğini yitirir. Ayrıca, standart EKK standart hata formülleri sabit varyans varsayımına dayandığı için hesaplanan standart hatalar yanlış (sapmalı) olur; bu standart hataları kullanan tt ve FF istatistikleri de güvenilirliklerini yitirerek geçersiz hale gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Stemdeki varsayım ihlalinin istatistiksel adının tespit edilmesi.
Bağımsız değişkenin değeri arttıkça hata teriminin varyansının artması 'değişen varyans' (heteroskedastisite) problemi olduğunu gösterir.
Varyansın tüm gözlemler için sabit kalmaması (homoskedastisite varsayımının çiğnenmesi) bu şekilde tanımlanır.
2
Gauss-Markov teoremi varsayımlarının EKK özelliklerine etkilerinin hatırlanması.
Sapmasızlık için E(u∣X)=0E(u|X)=0 şartının sağlanması yeterlidir. Ancak en küçük varyanslı (etkin) olabilmek için varyansın sabit olması ve otokorelasyon bulunmaması gerekir.
Her bir özelliğin (sapmasızlık, etkinlik) dayandığı varsayımlar farklıdır.
3
Değişen varyansın EKK tahmin edicileri (β^\hat{\beta}) üzerindeki teorik etkisinin değerlendirilmesi.
E(u∣X)=0E(u|X)=0 sağlandığı için tahmin ediciler hala sapmasızdır (E(β^)=βE(\hat{\beta})=\beta). Fakat sabit varyans ihlal edildiğinden artık en küçük varyanslı (BLUE) değillerdir.
Etkinlik şartı ortadan kalktığı için varyans matrisi optimal (minimum) olmaktan çıkar.
4
Varsayım ihlalinin istatistiksel çıkarsamalara (tt ve FF testleri) etkisinin belirlenmesi.
Standart EKK varyans formülleri yanlış sonuç vereceği için standart hatalar sapmalı hesaplanır, bu nedenle bu hatalara dayanan tt ve FF testleri güvenilmez hale gelir.
Anlamlılık testlerinin geçerliliği, standart hataların doğru hesaplanmasına doğrudan bağlıdır.

Anahtar Kavram

Değişen Varyansın (Heteroskedastisite) EKK Tahmincilerine ve Çıkarsamalara Etkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Çoklu Doğrusal Regresyon Modeli ve Varsayımları

Bu konudan daha fazla soru