Examkin

Soru

Zorluk: ZorKitle Oranının Tahmini ve Varyansı

Bir kamu denetim kurumu, faaliyet gösteren toplam N=250N=250 işletmenin çevre düzenlemelerine uygunluğunu değerlendirmek amacıyla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=25n=25 işletmelik bir örneklem seçmiştir.

Yapılan denetimler sonucunda, kurallara uymayan işletmelerin kitle oranına ilişkin varyans tahmini V^(p)=0.009\hat{V}(p) = 0.009 olarak hesaplanmıştır.

Kurallara uymayan işletme oranının %50\%50'den düşük olduğu bilindiğine göre, örneklemde kurallara uymadığı tespit edilen işletme sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    66
  2. B
    88
  3. 1010Cevap
  4. D
    1212
  5. E
    1515

Cevap

Örneklemde kurallara uymadığı tespit edilen işletme sayısı 1010'dur.
İadesiz basit rastgele örneklemede örneklem oranının varyans tahmini V^(p)=(1−f)p(1−p)n−1\hat{V}(p) = (1-f)\frac{p(1-p)}{n-1} formülü ile hesaplanır. Veriler formülde yerine konulduğunda 0.009=(1−25250)p(1−p)240.009 = \left(1-\frac{25}{250}\right)\frac{p(1-p)}{24} eşitliği elde edilir. SKD değeri olan 0.90.9 ile işlem yapıldığında denklem p(1−p)=0.24p(1-p) = 0.24 şekline dönüşür. Bu ikinci dereceden denklemin kökleri 0.40.4 ve 0.60.6'dır. Soru kısıtı gereği oranın %50\%50'den az olması (p<0.5p < 0.5) gerektiğinden, doğru kök p=0.4p = 0.4'tür. Örneklemde aranan koşulu sağlayan işletme sayısı ise a=n×p=25×0.4=10a = n \times p = 25 \times 0.4 = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İadesiz basit rastgele örneklemede kitle oranı varyans tahmini formülünü yazmak ve verilen değerleri yerleştirmek.
V^(p)=(1−nN)p(1−p)n−1\hat{V}(p) = \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{p(1-p)}{n-1} formülünde V^(p)=0.009\hat{V}(p) = 0.009, N=250N=250, n=25n=25 değerleri yerine konur.
Varyans tahmininden yola çıkarak örneklem oranı pp'ye ulaşmak için doğru tahmin edici modelinin kurulması gerekir.
2
Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanını hesaplamak.
Örnekleme kesri f=nN=25250=0.1f = \frac{n}{N} = \frac{25}{250} = 0.1 olduğundan, SKD çarpanı (1−f)=1−0.1=0.9(1 - f) = 1 - 0.1 = 0.9 olarak bulunur.
Seçim iadesiz yapıldığı için varyansın SKD ile düzeltilmesi zorunludur.
3
Denklemi çözerek p(1−p)p(1-p) değerini bulmak.
0.009=0.9×p(1−p)25−1  ⟹  0.009=0.924p(1−p)  ⟹  p(1−p)=0.009×240.9=0.240.009 = 0.9 \times \frac{p(1-p)}{25-1} \implies 0.009 = \frac{0.9}{24} p(1-p) \implies p(1-p) = \frac{0.009 \times 24}{0.9} = 0.24 elde edilir.
Oranın hesaplanabilmesi için ikinci dereceden denklemin katsayılarının belirlenmesi gerekir.
4
İkinci dereceden denklemi çözüp pp değerini belirlemek ve işletme sayısını hesaplamak.
p2−p+0.24=0p^2 - p + 0.24 = 0 denkleminin kökleri p=0.4p = 0.4 ve p=0.6p = 0.6'dır. Soruda verilen p<0.5p < 0.5 koşulu gereği p=0.4p = 0.4 alınır. İşletme sayısı a=n×p=25×0.4=10a = n \times p = 25 \times 0.4 = 10 olarak hesaplanır.
Örneklemdeki aranan özellikli birim sayısı (aa), örneklem hacmi (nn) ile örneklem oranının (pp) çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

İadesiz Basit Rastgele Örneklemede Kitle Oranının Varyans Tahmini ve SKD Kullanımı
Bu soruyu puanla

Konular

Kitle Oranının Tahmini ve Varyansı

Bu konudan daha fazla soru