Examkin

Soru

Zorluk: OrtaI. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

Bir fabrikada üretilen ürünlerin kusurlu olma olasılığı pp ile gösterilmektedir. Bu olasılığa ilişkin kurulan;

H0:p=0,10H_0 : p = 0,10
H1:p=0,50H_1 : p = 0,50

hipotezlerini test etmek için üretim hattından rastgele n=2n = 2 ürün seçiliyor. Karar kuralı (red bölgesi) "Eğer örneklemdeki kusurlu ürün sayısı (XX) 1 veya daha fazla ise H0H_0 hipotezi reddedilir" şeklinde belirlenmiştir.

Buna göre, bu testin I. tip hata olasılığı (α\alpha) ve II. tip hata olasılığı (β\beta) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

  1. 0,19 ve 0,25Cevap
  2. B
    0,81 ve 0,75
  3. C
    0,25 ve 0,19
  4. D
    0,18 ve 0,25
  5. E
    0,19 ve 0,75

Cevap

0,19 ve 0,25
I. tip hata (α\alpha), H0H_0 hipotezi doğruyken reddedilme olasılığıdır. Red bölgesi X≥1X \ge 1 olduğundan, α=1−P(X=0)=1−(0,90)2=0,19\alpha = 1 - P(X=0) = 1 - (0,90)^2 = 0,19 olarak hesaplanır. II. tip hata (β\beta) ise H1H_1 hipotezi doğruyken H0H_0'ın reddedilememesi olasılığıdır. Bu durum ancak X=0X=0 iken gerçekleşir ve β=P(X=0∣p=0,50)=(0,50)2=0,25\beta = P(X=0 \mid p=0,50) = (0,50)^2 = 0,25 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
I. tip hata (α\alpha) tanımını ve red bölgesini belirleme.
α=P(H0 reddedilir∣H0 dog˘ru)\alpha = P(H_0 \text{ reddedilir} \mid H_0 \text{ doğru}). Red bölgesi X≥1X \ge 1 olarak verilmiştir. H0H_0 doğru olduğunda p=0,10p = 0,10'dur.
I. tip hata, yokluk hipotezi gerçekte doğru iken testin bu hipotezi reddetme olasılığıdır.
2
Binom dağılımını kullanarak α\alpha değerini hesaplama.
α=P(X≥1∣p=0,10)=1−P(X=0∣p=0,10)=1−(20)(0,10)0(0,90)2=1−0,81=0,19\alpha = P(X \ge 1 \mid p=0,10) = 1 - P(X=0 \mid p=0,10) = 1 - \binom{2}{0}(0,10)^0(0,90)^2 = 1 - 0,81 = 0,19.
İki ürün (n=2n=2) arasından en az 1 kusurlu bulma olasılığı, tüm olasılıkların toplamından hiç kusurlu bulmama olasılığının çıkarılmasıyla pratik şekilde bulunur.
3
II. tip hata (β\beta) tanımını ve kabul bölgesini belirleme.
β=P(H0 reddedilemez∣H1 dog˘ru)\beta = P(H_0 \text{ reddedilemez} \mid H_1 \text{ doğru}). Reddedilmeme bölgesi X<1X < 1, yani ayrık ve pozitif veri olduğu için X=0X = 0'dır. H1H_1 doğru olduğunda p=0,50p = 0,50'dir.
II. tip hata, alternatif hipotez gerçekte doğru iken testin yokluk hipotezini reddedememe (kabul etme) olasılığıdır.
4
Binom dağılımını kullanarak β\beta değerini hesaplama.
β=P(X=0∣p=0,50)=(20)(0,50)0(0,50)2=1⋅1⋅0,25=0,25\beta = P(X=0 \mid p=0,50) = \binom{2}{0}(0,50)^0(0,50)^2 = 1 \cdot 1 \cdot 0,25 = 0,25.
Örneklemde hiç kusurlu ürün bulunmaması ihtimali, kusurlu oranının 0,50 olduğu varsayımı altında hesaplanır.

Anahtar Kavram

I. ve II. Tip Hata Olasılıklarının Dağılım Üzerinden Hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

I. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

Bu konudan daha fazla soru