Bir sistemdeki iki bağımsız bileşenin arıza süreleri (saat cinsinden) X_1 ve X_2 rassal de… — KPSS İstatistik

Bir sistemdeki iki bağımsız bileşenin arıza süreleri (saat cinsinden) $X_1$ ve $X_2$ rassal değişkenleriyle modellenmektedir. Bu arıza sürelerinin her birinin $(0, \theta)$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Sistemin genel durumu, bu iki bileşenden en son bozulanın arıza süresi olan $Y = \max(X_1, X_2)$ istatistiği izlenerek değerlendirilmektedir.

$\theta$ parametresi için aşağıdaki hipotezler kurulmuştur:
$H_0: \theta = 10$
$H_1: \theta = 15$

Bu test için belirlenen karar kuralı " $Y > c$ ise $H_0$ reddedilir" şeklindedir.

Testin anlamlılık düzeyi (I. Tip hata olasılığı) $\alpha = 0.36$ olduğuna göre, bu testin II. Tip hata olasılığı ( $\beta$ ) kaçtır?

A
$\frac{36}{225}$
$\frac{64}{225}$ Cevap
C
$\frac{96}{225}$
D
$\frac{104}{225}$
E
$\frac{161}{225}$

Cevap

Doğru değer \frac{64}{225} kesridir.

Sıra istatistiği Y = max(X1, X2) olarak tanımlandığı için, öncelikle birikimli dağılım fonksiyonu F(y) = (y/θ)² olarak yazılmalıdır. I. Tip hata (α), H0 doğruyken (θ=10) Y'nin c'den büyük olma ihtimalidir. α = 1 - (c²/100) = 0.36 eşitliğinden kritik değer c = 8 elde edilir. Soruda istenen II. Tip hata (β), H1 hipotezi geçerliyken (θ=15) Y değerinin ret bölgesine düşmeme (Y ≤ 8) ihtimalidir. Bu da β = F(8 | θ=15) = 8² / 15² = 64/225 işlemini vererek doğru sonuca ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

Y istatistiğinin birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) belirleyin.

X'ler (0, θ) aralığında düzgün dağıldığı için P(X ≤ x) = x/θ olur. Y = max(X1, X2) olduğundan, F_Y(y) = P(X1 ≤ y) · P(X2 ≤ y) = (y/θ)² = y²/θ² elde edilir.

Testin karar kuralı Y istatistiği üzerine kuruludur, bu nedenle hata olasılıklarını bulmak için öncelikle Y'nin dağılımı gereklidir.

Anlamlılık düzeyi (α) bilgisini kullanarak kritik değeri (c) hesaplayın.

α = P(Y > c | H0 doğru) = 1 - P(Y ≤ c | θ=10) formülüyle: 1 - (c²/100) = 0.36 işlemi çözülür ve c²/100 = 0.64'ten c = 8 bulunur.

I. Tip hata, H0 doğruyken H0'ı reddetme olasılığıdır. Bu olasılık c kritik değerine bağlıdır.

Bulunan c kritik değeri ile II. Tip hata olasılığını (β) hesaplayın.

β = P(Y ≤ 8 | H1 doğru) = P(Y ≤ 8 | θ=15) eşitsizliği H1'in CDF formülünde yerine konur: β = 8² / 15² = 64 / 225.

II. Tip hata, H1 doğruyken test istatistiğinin ret bölgesine (Y > c) düşmemesi, yani H0'ın reddedilememesi olasılığıdır.

Anahtar Kavram

Sıra İstatistiklerinde Hata Olasılıkları ve Anlamlılık Düzeyi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru