Sürekli rastgele değişkenlerin dönüşümü işlemlerinde, iki değişkenin çarpımı olan U = XY d… — KPSS İstatistik

Sürekli rastgele değişkenlerin dönüşümü işlemlerinde, iki değişkenin çarpımı olan $U = XY$ değişkeninin dağılımını belirlemek amacıyla sıklıkla $V = X$ yardımcı değişkeni tanımlanır. Bu dönüşüm yöntemiyle $X$ ve $Y$ değişkenleri $U$ ve $V$ cinsinden $X = V$ ve $Y = \frac{U}{V}$ olarak ifade edilmektedir. Buna göre, bu dönüşümün Jakobiyen (Jacobian) determinantının mutlak değeri ( $|J|$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

1/|v|Cevap
B
|v|
C
1
D
|u/v^2|
E
|u|

Cevap

Çarpım dönüşümü için Jakobiyen determinantının mutlak değeri

1/|v|

şeklindedir.

Verilen ters dönüşüm fonksiyonları

x=v

y=u/v

üzerinden kısmi türevler alındığında, matrisin determinantı

-1/v

çıkmaktadır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu formülünde kullanılan mutlak değer

|J|

ise

1/|v|

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Ters dönüşüm denklemlerini kullanarak kısmi türevleri hesaplayın.

x = v \Rightarrow \frac{\partial x}{\partial u} = 0, \frac{\partial x}{\partial v} = 1

y = \frac{u}{v} \Rightarrow \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{v}, \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{u}{v^2}

Jakobiyen matrisini oluşturmak için her bir eski değişkenin her bir yeni değişkene göre türevi gereklidir.

Jakobiyen matrisini kurun ve determinantını hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{v} & -\frac{u}{v^2} \end{vmatrix} = (0 \cdot -\frac{u}{v^2}) - (1 \cdot \frac{1}{v}) = -\frac{1}{v}

İki değişkenli dönüşümlerde olasılık yoğunluk fonksiyonu ölçeklemesi bu determinant ile yapılır.

Determinantın mutlak değerini alın.

|J| = |-\frac{1}{v}| = \frac{1}{|v|}

Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif olamayacağı için Jakobiyen determinantının daima mutlak değeri kullanılır.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Jakobiyen Dönüşümü

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular