Bir mühendislik uygulamasında, bir sistemin iki farklı bileşeninin çalışma sürelerini etki… — KPSS İstatistik

Bir mühendislik uygulamasında, bir sistemin iki farklı bileşeninin çalışma sürelerini etkileyen $X$ ve $Y$ çevresel faktörleri birbirinden bağımsız olarak modellenmiştir. Bu faktörlerin her ikisi de $(0, 1)$ aralığında standart düzgün dağılıma, $U(0,1)$ , sahiptir.

Sistemin tepki süresi, bu iki faktörün oranına bağlı olarak $W = \frac{X}{Y}$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir.

Buna göre, $W$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_W(w)$ aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

$f_W(w) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < w \leq 1 \\ \frac{1}{2w^2}, & w > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$ Cevap
B
$f_W(w) = \begin{cases} 1, & 0 < w \leq 1 \\ \frac{1}{w}, & w > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$
C
$f_W(w) = \begin{cases} 1, & 0 < w < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$
D
$f_W(w) = \begin{cases} \frac{1}{2w^2}, & w > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$
E
$f_W(w) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < w \leq 1 \\ \frac{1}{w^3}, & w > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$

Cevap

0 < w \leq 1

aralığında

1/2

w > 1

aralığında

1/(2w^2)

değerini alan parçalı olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Doğru yanıt, birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) veya Jakobiyen yöntemiyle iki boyutlu düzlemde doğru sınırların entegre edilmesiyle bulunur. Düzgün dağılımlı iki değişkenin oranı için

P(X \leq wY)

hesaplanırken,

x = wy

doğrusunun birim kare içindeki hareketi

w \leq 1

w > 1

durumlarında farklı geometrik bölgeler oluşturur. Bu alanların türevi alındığında

0 < w \leq 1

için yoğunluk

1/2

w > 1

için

1/(2w^2)

bulunur.

Adım Adım Çözüm

X

Y

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleme.

f_{X,Y}(x,y) = 1 \quad (0 < x < 1, \ 0 < y < 1)

Her iki değişken de bağımsız standart düzgün dağılıma sahip olduğu için ortak yoğunluk fonksiyonu, marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımıdır.

Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemini kullanarak

P(W \leq w)

olasılığını tanımlama.

F_W(w) = P\left(\frac{X}{Y} \leq w\right) = P(X \leq wY)

Y

değişkeni sadece pozitif değerler aldığından eşitsizlik yön değiştirmez. Çözüm,

xy

düzlemindeki birim kare içerisinde

x \leq wy

bölgesinin alanını hesaplamaktır.

0 < w \leq 1

durumu için olasılığı hesaplama ve türev alma.

Bu durumda

x = wy

doğrusu tavanı (

y=1

)

x=w

noktasında keser. Taralı alan bir üçgendir. Alan =

\frac{w \cdot 1}{2} = \frac{w}{2}

. Türevi:

f_W(w) = \frac{1}{2}

w \leq 1

iken doğrunun eğimi diktir ve taranan bölge basit bir dik üçgen oluşturur.

w > 1

durumu için olasılığı hesaplama ve türev alma.

Bu durumda doğru, sağ duvarı (

x=1

)

y=\frac{1}{w}

noktasında keser. İstenmeyen bölge (

X > wY

) bir üçgendir ve alanı

\frac{1 \cdot (1/w)}{2} = \frac{1}{2w}

olur. Tüm alandan çıkarırsak:

F_W(w) = 1 - \frac{1}{2w}

. Türevi:

f_W(w) = \frac{1}{2w^2}

w > 1

iken bölge kırılmaya uğrar ve yamuk şeklini alır. Tüm kareden (1), dışarıda kalan sağ alt üçgeni çıkarmak hesaplamayı kolaylaştırır.

Parçalı olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazma.

f_W(w) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < w \leq 1 \\ \frac{1}{2w^2}, & w > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Her iki farklı

w

bölgesi için elde edilen türev sonuçları birleştirilerek tam dağılım fonksiyonu elde edilir.

Anahtar Kavram

İki bağımsız rastgele değişkenin oranının dağılımı ve geometrik CDF hesaplaması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular