Bir ağ donanımı testinde, iki farklı veri paketinin bir sisteme ulaşma süreleri sırasıyla … — KPSS İstatistik

Bir ağ donanımı testinde, iki farklı veri paketinin bir sisteme ulaşma süreleri sırasıyla $X$ ve $Y$ olarak ölçülmektedir. $Y$ paketinin daima $X$ paketinden sonra geldiği bilinen bu testte, söz konusu sürelerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi modellenmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 2, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sistem performansını değerlendirmek amacıyla bu iki sürenin birbirine oranı olan $U = \frac{X}{Y}$ rastgele değişkeni tanımlanıyor.

Buna göre, $U$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_U(u)$ aşağıdakilerden hangisidir? (Aşağıdaki fonksiyonların tümü $0 < u < 1$ aralığı için tanımlı olup, diğer durumlarda $0$ 'dır.)

$f_U(u) = 1$ Cevap
B
$f_U(u) = 2u$
C
$f_U(u) = 2(1-u)$
D
$f_U(u) = 3u^2$
E
$f_U(u) = -\ln(u)$

Cevap

f_U(u) = 1

Doğru yanıt olan

f_U(u) = 1

ifadesi, iki değişkenli dönüşüm yöntemi (Jakobiyen) kullanılarak elde edilir.

U=X/Y

ve yardımcı değişken olarak

V=Y

tanımlandığında ters dönüşümler

X=UV

Y=V

olur. Bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

|J|=v

olarak hesaplanır. Dönüşüm sınırları

0 < uv < v < 1

eşitsizliğinden

0 < u < 1

0 < v < 1

olarak belirlenir. Yeni ortak yoğunluk fonksiyonu

f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv, v)|J| = 2v

olur.

U

'nun marjinal yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

v

üzerinden

(0,1)

aralığında integral alındığında

\int_0^1 2v \, dv = 1

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

U = X/Y

ve yardımcı bir

V = Y

değişken dönüşümünü tanımlayarak ters dönüşümleri bulma

X = U \cdot V

Y = V

ters dönüşümleri elde edilir.

İki değişkenli dönüşüm yöntemini (Jakobiyen) uygulamak için eski değişkenlerin yeni değişkenler cinsinden yazılması gerekir.

Dönüşümün Jakobiyen determinantını (

|J|

) hesaplama

J = \det \begin{pmatrix} v & u \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = v

bulunur ve

v=y>0

olduğundan mutlak değer

|J| = v

olur.

Yeni ortak yoğunluk fonksiyonunu bulurken alan değişim oranını yansıtmak için Jakobiyen katsayısına ihtiyaç vardır.

U

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve tanımlı olduğu bölgeyi belirleme

f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv, v) \cdot |J| = 2v

bulunur. Sınırlar

0 < x < y < 1

eşitsizliğinde yerine konduğunda

0 < uv < v < 1

olur. Buradan

0 < u < 1

0 < v < 1

elde edilir.

Marjinal dağılımı bulabilmek için öncelikle yeni değişkenlerin ortak dağılımını ve doğru integral sınırlarını belirlemek şarttır.

v

değişkeni üzerinden integral alarak

U

'nun marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma

f_U(u) = \int_0^1 2v \, dv = v^2 \Big|_0^1 = 1

elde edilir. Dağılım

0 < u < 1

aralığında geçerlidir.

U

oran değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonuna ulaşmak için

V

değişkeninin ortak dağılımdan entegre edilerek aradan çıkarılması gerekir.

Anahtar Kavram

Değişkenlerin Bölüm Dağılımı ve Jakobiyen Dönüşümü

Alternatif Yöntem

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemiyle de hızlıca çözülebilir:

F_U(u) = P(U \le u) = P(X/Y \le u) = P(X \le uY)

yazılır. Ortak yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge (

0 < x < y < 1

) dikkate alınarak doğrudan integral kurulur:

F_U(u) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{uy} 2 \, dx \, dy = \int_{0}^{1} 2uy \, dy = u \cdot y^2 \Big|_{0}^{1} = u

. Buradan türev alınarak

f_U(u) = \frac{d}{du} u = 1

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular