Yöneylem araştırması alanında yapılan bir benzetim (simülasyon) modellemesinde, rassal ola… — KPSS İstatistik

Yöneylem araştırması alanında yapılan bir benzetim (simülasyon) modellemesinde, rassal olarak üretilen iki bağımsız girdi parametresi $X$ ve $Y$ ile çalışılmaktadır. Bu parametrelerin her ikisinin de $(0,1)$ aralığında sürekli düzgün dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Modelin bir aşamasında, bu iki girdi parametresinin oranı kullanılarak yeni bir $U = \frac{X}{Y}$ rastgele değişkeni tanımlanmıştır.

Buna göre, $U$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_U(u)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$f_U(u) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < u \le 1 \\ \frac{1}{2u^2}, & u > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$ Cevap
B
$f_U(u) = \begin{cases} 1, & 0 < u \le 1 \\ \frac{1}{u}, & u > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$
C
$f_U(u) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & u > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$
D
$f_U(u) = \begin{cases} \frac{1}{u^2}, & u > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$
E
$f_U(u) = \begin{cases} \frac{1}{(1+u)^2}, & u > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$

Cevap

Doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu, 0 < u ≤ 1 aralığı için 1/2, u > 1 aralığı için ise 1/(2u^2) değerini alan parçalı fonksiyondur.

Çok değişkenli rastgele değişken dönüşümlerinde doğru yöntem, önce

X=UV

Y=V

dönüşümü ile ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmaktır. Düzgün dağılımın ortak fonksiyonu 1'dir. Jakobiyen determinantı

v

olarak hesaplandığından

U

V

'nin ortak yoğunluğu

v

olur. Değişkenlerin tanımlı olduğu

0 < x < 1

şartı

u \cdot v < 1

sonucunu verir.

u \le 1

iken

v

değişkeni tam aralıkta

(0,1)

değer alabilir ve integral

\frac{1}{2}

çıkar. Ancak

u > 1

iken

v

değişkeni en fazla

1/u

değerine çıkabilir, bu yüzden bu aralıktaki integral

\frac{1}{2u^2}

olarak hesaplanır. İki durum birleştirildiğinde doğru parçalı fonksiyon elde edilir.

Adım Adım Çözüm

X

Y

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazmak.

f_{X,Y}(x,y) = 1

(0 < x < 1

0 < y < 1

için)

Değişkenler

(0,1)

aralığında sürekli düzgün dağılımlı ve birbirlerinden bağımsız oldukları için marjinal yoğunluklarının çarpımı ortak yoğunluğu verir.

Dönüşüm değişkenlerini tanımlamak ve Jakobiyen determinantını hesaplamak.

u = x/y

v = y

dönüşümü yapılırsa,

x = u \cdot v

y = v

olur. Jakobiyen determinantı

J = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} = v \cdot 1 - u \cdot 0 = v

bulunur.

Yeni değişkenlerin ortak olasılık fonksiyonunu bulmak için dönüşüm formülünde

|J|

çarpanına ihtiyaç vardır.

U

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve sınırlarını bulmak.

g(u,v) = f_{X,Y}(uv, v) \cdot |J| = 1 \cdot v = v

. Sınırlar:

0 < uv < 1 \implies v < 1/u

0 < v < 1

. Bu durumda

v

'nin üst sınırı

\min(1, 1/u)

olur.

Orijinal değişkenlerin tanım aralığından, yeni değişkenlerin birbirine bağlı sınırları belirlenmelidir.

V

'ye göre marjinal integral alarak

f_U(u)

fonksiyonunu hesaplamak.

0 < u \le 1

için:

\int_0^1 v \,dv = \frac{1}{2}

u > 1

için:

\int_0^{1/u} v \,dv = \frac{1}{2u^2}

Sadece

U

'nun olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için, ortak yoğunluk fonksiyonunun

V

'nin uygun sınırları üzerinden integrali alınmalıdır.

Anahtar Kavram

İki bağımsız rastgele değişkenin oranının dağılımı ve Çok Değişkenli Dönüşümlerde Jakobiyen

Alternatif Yöntem

Bu soru Birikimli Dağılım Fonksiyonu (CDF) yöntemiyle de çözülebilir.

F_U(u) = P(U \le u) = P(X/Y \le u) = P(X \le Y \cdot u)

eşitsizliği dikkate alınarak

(0,1) \times (0,1)

karesi üzerinde alan hesabı yapılabilir.

u \le 1

için doğrusal sınırın kestiği alan dik üçgendir (alan

= u/2

u > 1

için alan bir yamuk veya tüm kareden üst üçgenin çıkarılmış halidir (alan

= 1 - 1/(2u)

). Elde edilen bu

F_U(u)

fonksiyonunun türevi doğrudan yoğunluk fonksiyonunu verir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular