İstatistiksel analizlerde, X ve Y bağımsız standart normal rastgele değişkenler olmak üzer… — KPSS İstatistik

İstatistiksel analizlerde, $X$ ve $Y$ bağımsız standart normal rastgele değişkenler olmak üzere $Z = \frac{X}{Y}$ oran değişkeninin dağılımı Standart Cauchy dağılımıdır. Bu dağılımın elde edilmesinde kullanılan değişken değiştirme yöntemi kapsamında, $X = ZY$ ve $Y = Y$ ters dönüşümü tanımlandığında, bu dönüşüme ait Jakobiyen (Jacobian) determinantının mutlak değeri ( $|J|$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$|Y|$ Cevap
B
$1$
C
$|Z|$
D
$Y^2$
E
$\frac{1}{|Y|}$

Cevap

Jakobiyen determinantının mutlak değeri

|Y|

olarak bulunur.

Verilen

X = ZY

Y = Y

dönüşümü için Jakobiyen matrisi

\begin{pmatrix} y & z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

şeklindedir. Bu matrisin determinantı

y

değerine eşittir ve mutlak değeri alındığında

|Y|

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Ters dönüşüm denklemlerini yazın.

x = zy

y = y

Jakobiyen yöntemi, eski değişkenlerin (

x, y

) yeni değişkenler (

z, y

) cinsinden ifadesini gerektirir.

Kısmi türevleri hesaplayın.

\frac{\partial x}{\partial z} = y

\frac{\partial x}{\partial y} = z

\frac{\partial y}{\partial z} = 0

\frac{\partial y}{\partial y} = 1

Jakobiyen matrisinin bileşenlerini oluşturmak için türevler gereklidir.

Jakobiyen matrisini kurun ve determinantı hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} y & z \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (y \times 1) - (z \times 0) = y

Dönüşümün ölçekleme faktörünü bulmak için determinant hesaplanır.

Mutlak değeri alın.

|J| = |y|

veya rastgele değişken cinsinden

|Y|

Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif olamayacağı için Jakobiyen mutlak değer içinde kullanılır.

Anahtar Kavram

İki değişkenli dönüşümlerde Jakobiyen determinantı kullanımı

Alternatif Yöntem

Dönüşümü

X=g_1(Z,Y)

Y=g_2(Z,Y)

olarak belirleyip standart determinant formülünü doğrudan uygulamaktır.

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular