Examkin

Soru

Zorluk: KolayTek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı tarafından bir sanayi bölgesindeki hava kalitesini denetlemek amacıyla havadaki partikül madde (PM10PM_{10}) miktarının değişkenliği incelenmektedir. Normal dağılım gösteren bir kitleden rastgele seçilen 2626 günlük ölçüm sonucunda örneklem varyansı S2=4S^2 = 4 olarak hesaplanmıştır. Kitlenin varyansı (σ2\sigma^2) için %95\%95 güven aralığını oluşturmak üzere kullanılacak serbestlik derecesi ve Ki-kare (χ2\chi^2) tablo değerleri sırasıyla sd=25sd = 25, χ0,025;252=40,646\chi^2_{0,025; 25} = 40,646 ve χ0,975;252=13,120\chi^2_{0,975; 25} = 13,120 olarak verilmiştir.

Buna göre, kitle varyansı (σ2\sigma^2) için %95\%95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [2,46 ; 7,62][2,46 \ ; \ 7,62]Cevap
  2. B
    [7,62 ; 2,46][7,62 \ ; \ 2,46]
  3. C
    [2,56 ; 7,93][2,56 \ ; \ 7,93]
  4. D
    [2,36 ; 7,31][2,36 \ ; \ 7,31]
  5. E
    [4,00 ; 7,62][4,00 \ ; \ 7,62]

Cevap

Kitle varyansı için %95 güven aralığı [2,46 ; 7,62][2,46 \ ; \ 7,62] olarak bulunur.
Verilen bilgilere göre n=26n=26 ve S2=4S^2=4 değerleri kullanılarak pay değeri (26−1)×4=100(26-1) \times 4 = 100 olarak bulunur. Formül gereği bu pay değeri, büyük Ki-kare değerine (40,64640,646) bölünerek alt sınır olan 2,462,46 elde edilir. Aynı pay değeri küçük Ki-kare değerine (13,12013,120) bölünerek üst sınır olan 7,627,62 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Serbestlik derecesini belirle
sd=n−1=26−1=25sd = n - 1 = 26 - 1 = 25
Varyans için kullanılan Ki-kare pivot değişkeni n−1n-1 serbestlik derecesine sahiptir.
2
Güven aralığı formülünü uygula
Güven Aralığı = [(n−1)S2χα/2;n−12,(n−1)S2χ1−α/2;n−12]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]
Varyansın güven aralığı, Ki-kare dağılımının kritik değerlerinin paydada yer aldığı bu formülle hesaplanır.
3
Değerleri yerine koyarak sınırları hesapla
Alt Sınır: 100/40,646≈2,46100 / 40,646 \approx 2,46 ; Üst Sınır: 100/13,120≈7,62100 / 13,120 \approx 7,62
Pay kısmında (25×4)=100(25 \times 4) = 100 değeri kullanılır; büyük Ki-kare değeri alt sınırı, küçük olan ise üst sınırı verir.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansı için güven aralığı hesaplanırken (n−1)S2/σ2∼χn−12(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1} pivot değişkeni kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Örneklem hacmi (nn) arttığında güven aralığının genişliğinin nasıl değişeceğini yorumlayınız.
Tahmini Süre:50s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru