Examkin

Soru

Zorluk: ZorDualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bir havacılık şirketi, yeni nesil bir uçağın aerodinamik performans katsayısını en çoklamak amacıyla tasarım parametreleri (x1,x2,x3x_1, x_2, x_3) üzerinden aşağıdaki doğrusal programlama primal modelini formüle etmiştir:

Maksimum Z=12x1+18x2+10x3Z = 12x_1 + 18x_2 + 10x_3

Kısıtlar:
3x1+4x2−2x3≤503x_1 + 4x_2 - 2x_3 \leq 50
x1−2x2+5x3≥20x_1 - 2x_2 + 5x_3 \geq 20
2x1+x2+3x3=352x_1 + x_2 + 3x_3 = 35
x1≥0,x2≥0,x3 is¸aretsizx_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \text{ işaretsiz}

Buna göre, verilen primal modelin dual (ikili) modeli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Min W=50y1+20y2+35y3W = 50y_1 + 20y_2 + 35y_3
    3y1+y2+2y3≥123y_1 + y_2 + 2y_3 \geq 12
    4y1−2y2+y3≥184y_1 - 2y_2 + y_3 \geq 18
    −2y1+5y2+3y3=10-2y_1 + 5y_2 + 3y_3 = 10
    y1≥0,y2≤0,y3 is¸aretsizy_1 \geq 0, y_2 \leq 0, y_3 \text{ işaretsiz}    Cevap
  2. B
    Min W=50y1+20y2+35y3W = 50y_1 + 20y_2 + 35y_3
    3y1+y2+2y3≥123y_1 + y_2 + 2y_3 \geq 12
    4y1−2y2+y3≥184y_1 - 2y_2 + y_3 \geq 18
    −2y1+5y2+3y3=10-2y_1 + 5y_2 + 3y_3 = 10
    y1≥0,y2≥0,y3 is¸aretsizy_1 \geq 0, y_2 \geq 0, y_3 \text{ işaretsiz}
  3. C
    Min W=50y1+20y2+35y3W = 50y_1 + 20y_2 + 35y_3
    3y1+y2+2y3≥123y_1 + y_2 + 2y_3 \geq 12
    4y1−2y2+y3≥184y_1 - 2y_2 + y_3 \geq 18
    −2y1+5y2+3y3≥10-2y_1 + 5y_2 + 3y_3 \geq 10
    y1≥0,y2≤0,y3 is¸aretsizy_1 \geq 0, y_2 \leq 0, y_3 \text{ işaretsiz}
  4. D
    Min W=50y1+20y2+35y3W = 50y_1 + 20y_2 + 35y_3
    3y1+y2+2y3≥123y_1 + y_2 + 2y_3 \geq 12
    4y1−2y2+y3≥184y_1 - 2y_2 + y_3 \geq 18
    −2y1+5y2+3y3=10-2y_1 + 5y_2 + 3y_3 = 10
    y1≤0,y2≥0,y3 is¸aretsizy_1 \leq 0, y_2 \geq 0, y_3 \text{ işaretsiz}
  5. E
    Min W=50y1+20y2+35y3W = 50y_1 + 20y_2 + 35y_3
    3y1+y2+2y3≥123y_1 + y_2 + 2y_3 \geq 12
    4y1−2y2+y3≥184y_1 - 2y_2 + y_3 \geq 18
    −2y1+5y2+3y3≥10-2y_1 + 5y_2 + 3y_3 \geq 10
    y1≥0,y2≥0,y3≥0y_1 \geq 0, y_2 \geq 0, y_3 \geq 0

Cevap

Doğru dual modelde amaç fonksiyonu minimizasyon yönündedir, ilk iki kısıt büyük eşit, üçüncü kısıt eşitlik şeklindedir ve dual değişken işaretleri sırasıyla y1≥0y_1 \geq 0, y2≤0y_2 \leq 0, y3y_3 işaretsiz olarak belirlenmiştir.
Doğru dual modelde, primal amaç fonksiyonu maksimizasyon olduğundan dual minimizasyon şeklindedir. Primal kısıtların sağ taraf sabitleri (50, 20, 35) dual amaç fonksiyonunun katsayılarıdır. Primaldeki değişkenlerin işaretleri (x1≥0x_1 \geq 0, x2≥0x_2 \geq 0, x3x_3 işaretsiz) sırasıyla dual kısıtların yönlerini (≥\geq, ≥\geq, ==) belirler. Ayrıca primal kısıtların yönleri (≤\leq, ≥\geq, ==) dual değişkenlerin işaretlerini (y1≥0y_1 \geq 0, y2≤0y_2 \leq 0, y3y_3 işaretsiz) doğrudan belirler. İşlem adımlarının tamamen doğru uygulandığı tek model budur.

Adım Adım Çözüm

1
Amaç fonksiyonunun yönünü ve katsayılarını belirleme
Primal model maksimizasyon olduğundan dual model minimizasyon olmalıdır. Dual amaç fonksiyonu W=50y1+20y2+35y3W = 50y_1 + 20y_2 + 35y_3 şeklini alır.
Primal modelin kısıtlarının sağ taraf sabitleri (50, 20, 35), dual modelin amaç fonksiyonu katsayılarını oluşturur.
2
Dual kısıt denklemlerinin katsayılarını ve yönlerini oluşturma
Kısıtlar sırasıyla 3y1+y2+2y3≥123y_1 + y_2 + 2y_3 \geq 12, 4y1−2y2+y3≥184y_1 - 2y_2 + y_3 \geq 18 ve −2y1+5y2+3y3=10-2y_1 + 5y_2 + 3y_3 = 10 olarak elde edilir.
Primal katsayılar matrisinin transpozu alınır. Primalde x1≥0x_1 \geq 0 ve x2≥0x_2 \geq 0 olduğu için ilk iki dual kısıt ≥\geq, x3x_3 işaretsiz olduğu için üçüncü dual kısıt == işaretine sahip olur.
3
Dual değişkenlerin işaretlerini belirleme
y1≥0y_1 \geq 0, y2≤0y_2 \leq 0 ve y3y_3 işaretsiz olarak belirlenir.
Maksimizasyon probleminde ≤\leq yönlü 1. kısıt için y1≥0y_1 \geq 0, ≥\geq yönlü 2. kısıt için y2≤0y_2 \leq 0 ve == yönlü 3. kısıt için y3y_3 işaretsiz (urs) olmalıdır.

Anahtar Kavram

Dualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu (Primal-Dual İşaret Kuralları)
Bu soruyu puanla

Konular

Dualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bu konudan daha fazla soru