Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRao-Blackwell Teoremi

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından gerçekleştirilen Hanehalkı İşgücü Araştırması'nda, bir bireyin istihdam edilme durumu pp (0<p<10 < p < 1) parametreli Bernoulli dağılımı ile modellenmektedir. nn bireyden oluşan rastgele bir örneklemde (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n), istihdam edilenler Xi=1X_i = 1 ve edilmeyenler Xi=0X_i = 0 olarak kaydedilmiştir. Araştırmada pp parametresi için yansız bir tahmin edici olarak T=X1T = X_1 ve bu parametre için yeterli bir istatistik olarak S=∑i=1nXiS = \sum_{i=1}^{n} X_i seçilmiştir. Rao-Blackwell teoremi uyarınca, TT tahmin edicisinin SS yeterli istatistiği üzerindeki koşullu beklentisi olan E(T∣S)E(T|S) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1n∑i=1nXi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_iCevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i
  3. C
    1n−1∑i=1nXi\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i
  4. D
    X1X_1
  5. E
    X1+X22\frac{X_1 + X_2}{2}

Cevap

Rao-Blackwell teoremi uygulanarak elde edilen yeni tahmin edici örneklem ortalaması olan 1n∑i=1nXi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i ifadesidir.
Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin (TT) yeterli bir istatistik (SS) üzerine koşullu beklentisinin (E(T∣S)E(T|S)), orijinal tahmin ediciden daha küçük veya eşit varyansa sahip, yine yansız bir tahmin edici üreteceğini garanti eder. Bernoulli dağılımı için ilk gözlemin toplam başarı sayısı üzerine koşullu beklentisi, başarı sayısının örneklem hacmine oranına (örneklem ortalamasına) eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edici ve yeterli istatistiğin belirlenmesi
T=X1T = X_1 (yansız) ve S=∑i=1nXiS = \sum_{i=1}^{n} X_i (yeterli) olarak verilmiştir.
Teoremi uygulamak için başlangıçta yansız bir tahmin ediciye ve yeterli bir istatistiğe ihtiyaç vardır.
2
Koşullu beklenen değer formülünün kurulması
E(T∣S)=E(X1∣∑Xi=s)E(T|S) = E(X_1 | \sum X_i = s) işlemi tanımlanmıştır.
Rao-Blackwell teoremi, yeni tahmin edicinin TT'nin SS üzerindeki koşullu beklentisi olduğunu söyler.
3
Bernoulli dağılımı için olasılık hesaplamasının yapılması
P(X1=1∣∑Xi=s)=snP(X_1 = 1 | \sum X_i = s) = \frac{s}{n} olarak hesaplanır.
Bernoulli denemelerinde toplam başarı sayısı biliniyorken, herhangi bir denemenin başarılı olma olasılığı toplamın deneme sayısına oranıdır.
4
Tahmin edicinin fonksiyonel formunun yazılması
E(T∣S)=1n∑i=1nXi=XˉE(T|S) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \bar{X} sonucuna ulaşılır.
Gözlemlenen toplam değer yerine rastgele değişkenin kendisi yazılarak tahmin edici elde edilir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi

Daha Fazla Pratik

Aynı problemin Poisson dağılımı için T=I(X1=0)T = I(X_1 = 0) gösterge değişkeni kullanılarak nasıl çözüleceğini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Teoremin sonucu olarak elde edilen tahmin edicinin UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici) olup olmadığını kontrol etmek için yeterli istatistiğin tam (complete) olup olmadığına bakılabilir; Bernoulli ailesi için toplam yeterli ve tamdır, dolayısıyla elde edilen örneklem ortalaması UMVUE'dir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Rao-Blackwell Teoremi

Bu konudan daha fazla soru