Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir sigorta şirketinde, belirli bir hasar türü için ödenen tazminat tutarlarının (XX, bin TL cinsinden) dağılımı, minimum tazminat tutarı θ\theta (θ>0\theta > 0) olmak üzere, aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x;θ)={3θ3x4,x≥θ0,x<θf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3\theta^3}{x^4}, & x \ge \theta \\ 0, & x < \theta \end{cases}

Burada θ\theta bilinmeyen bir parametredir. Şirketin veritabanından rastgele seçilen nn adet hasar dosyası için ödenen tazminat tutarları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak elde edilmiştir.

Buna göre, Neyman çarpanlara ayırma teoremine dayanarak θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. X(1)=min⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(1)} = \min(X_1, X_2, \dots, X_n)Cevap
  2. B
    X(n)=max⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)
  3. C
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i
  4. D
    ∑i=1nln⁡Xi\sum_{i=1}^n \ln X_i
  5. E
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i

Cevap

Doğru cevap, örneklemin en küçük değeri olan X(1)=min⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(1)} = \min(X_1, X_2, \dots, X_n) istatistiğidir.
Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)=g(T(x);θ)h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}); \theta) h(\mathbf{x}) şeklinde ayrılır. Bu dağılımda g(T(x);θ)=θ3n⋅I(X(1)≥θ)g(T(\mathbf{x}); \theta) = \theta^{3n} \cdot I(X_{(1)} \ge \theta) elde edilir. Sınır koşulunu belirleyen indikatör fonksiyonu sadece minimum değer üzerinden ifade edilebileceği için yeterli istatistik X(1)X_{(1)} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem için ortak olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.
L(θ;x)=∏i=1n(3θ3xi4⋅I(xi≥θ))L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{3\theta^3}{x_i^4} \cdot I(x_i \ge \theta) \right)
Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle tüm örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu yazılmalıdır.
2
Çarpım işlemlerini uygulayarak fonksiyonu düzenleyin.
L(θ;x)=3nθ3n∏i=1nxi4⋅I(x1≥θ,x2≥θ,…,xn≥θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{3^n \theta^{3n}}{\prod_{i=1}^n x_i^4} \cdot I(x_1 \ge \theta, x_2 \ge \theta, \dots, x_n \ge \theta)
Neyman çarpanlara ayırma teoremini uygulayabilmek için ifade analitik olarak sadeleştirilmelidir.
3
İndikatör (gösterge) fonksiyonundaki eşitsizlikleri sıra istatistikleri (order statistics) cinsinden yeniden ifade edin.
Tüm gözlemlerin θ\theta'dan büyük veya ona eşit olması koşulu (xi≥θx_i \ge \theta), örneklemdeki en küçük değerin θ\theta'dan büyük veya ona eşit olmasıyla doğrudan sağlanır: I(X(1)≥θ)I(X_{(1)} \ge \theta)
Parametreye bağlı tanım aralıklarında, yeterli istatistiğin sınır değerlerini belirleyen sıra istatistikleri cinsinden yazılması zorunludur.
4
Neyman teoremine göre fonksiyonu g(T(x);θ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x}); \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formatında ayırın.
g(T(x);θ)=θ3n⋅I(X(1)≥θ)g(T(\mathbf{x}); \theta) = \theta^{3n} \cdot I(X_{(1)} \ge \theta) ve h(x)=3n∏i=1nxi4h(\mathbf{x}) = \frac{3^n}{\prod_{i=1}^n x_i^4} olarak ayrılır.
gg fonksiyonu hem parametreyi hem de örneklemi içeren kısımdır ve bu kısmın içindeki T(x)T(\mathbf{x}) yeterli istatistiktir. Buradan T(x)=X(1)T(\mathbf{x}) = X_{(1)} olduğu açıkça görülür.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Sıra İstatistikleri

Alternatif Yöntem

Koşullu dağılım yaklaşımı ile de X(1)X_{(1)} verildiğinde diğer sıra istatistiklerinin dağılımının θ\theta'dan bağımsız olduğu gösterilebilir, ancak analitik açıdan Neyman teoreminden indikatör yardımıyla gitmek her zaman çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru