Bir işletmenin kârını maksimize etmek amacıyla kurduğu, tüm kısıtları "\leq" şeklinde olan… — KPSS İstatistik

Bir işletmenin kârını maksimize etmek amacıyla kurduğu, tüm kısıtları " $\leq$ " şeklinde olan bir doğrusal programlama modelinin optimal simpleks tablosu aşağıda verilmiştir. Başlangıç modelinde $s_1$ ve $s_2$ sırasıyla birinci ve ikinci kısıtların aylak (gevşek) değişkenlerini temsil etmektedir.

Temel Değişken	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm
$x_2$	$0$	$1$	$1$	$-1$	$10$
$x_1$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$20$
$Z_j - C_j$	$0$	$0$	$3$	$4$	$240$

Buna göre, bu modelin başlangıç amaç fonksiyonundaki $c_1$ ( $x_1$ 'in katsayısı) ve $c_2$ ( $x_2$ 'nin katsayısı) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

$7$ ve $10$ Cevap
B
$10$ ve $7$
C
$3$ ve $4$
D
$-1$ ve $5$
E
$10$ ve $4$

Cevap

c_1

değeri

7

c_2

değeri

10

'dur.

Doğru cevap

7

10

'dur. Simpleks yönteminin temel teorisine göre, başlangıçta birim matris altında olan aylak değişkenlerin optimal tablodaki konumları bize ters matrisi (

B^{-1}

) ve gölge fiyatları (

y

) verir.

B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

y = (3, 4)

'tür. Temel değişkenler tablodaki sırasıyla

x_2

x_1

olduğu için

c_B = (c_2, c_1)

olur.

y = c_B \cdot B^{-1}

formülünden kurulan denklem sistemi çözüldüğünde

c_1 = 7

c_2 = 10

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Optimal tablodan ters temel matrisi (

B^{-1}

) ve gölge fiyatlar vektörünü (

y

) belirleyin.

Aylak değişkenler olan

s_1

s_2

'nin altındaki değerler

B^{-1}

matrisini verir:

B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

. Aynı sütunların

Z_j - C_j

satırındaki değerleri gölge fiyatlarıdır:

y = (3, 4)

Simpleks yönteminin matrisyel gösteriminde, başlangıçta birim matris oluşturan aylak değişkenlerin optimal tablodaki katsayıları doğrudan

B^{-1}

'i, amaç satırındaki değerleri ise dual çözüm değerlerini (

y

) gösterir.

Temel değişken vektörünü (

c_B

) tablodaki sıraya göre tanımlayın.

Tabloda 1. satırda

x_2

, 2. satırda

x_1

bulunmaktadır. Bu nedenle

c_B

vektörü

(c_2, c_1)

şeklindedir.

Matris çarpımlarında sıralama esastır. Hangi değişken hangi satırda temel değişkense, amaç fonksiyonundaki katsayısı da o sırada yazılmalıdır.

y = c_B \cdot B^{-1}

temel ilişkisini kullanarak denklem sistemini kurun.

(3, 4) = (c_2, c_1) \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

eşitliği yazılır.

Optimal çözümde gölge fiyatlar vektörü (

y

), temel değişkenlerin amaç fonksiyonu katsayıları (

c_B

) ile ters temel matrisin (

B^{-1}

) çarpımına eşittir.

Oluşan denklem sistemini çözerek

c_1

c_2

değerlerini bulun.

Denklemler:

c_2 - c_1 = 3

-c_2 + 2c_1 = 4

. Taraf tarafa toplandığında

c_1 = 7

bulunur. İlk denklemde yerine konduğunda

c_2 - 7 = 3 \Rightarrow c_2 = 10

elde edilir.

Doğrusal denklem sistemi çözülerek orijinal amaç fonksiyonundaki

x_1

x_2

katsayılarına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Simpleks Tablosunda Matrisyel İlişkiler ve Gölge Fiyatlar

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru