Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorWiener Süreci ve Kahverengi Hareket

{W(t),t≥0}\{W(t), t \geq 0\} standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olmak üzere, sürecin t=2t=2 anındaki değeri W(2)=4W(2) = 4 ve t=5t=5 anındaki değeri W(5)=1W(5) = 1 olarak gözlemlenmiştir.

Buna göre, verilen bu gözlemler altında sürecin t=3t=3 anındaki değeri olan W(3)W(3) rastgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    44 ve 11
  2. B
    33 ve 11
  3. 33 ve 23\frac{2}{3}Cevap
  4. D
    2,52,5 ve 33
  5. E
    11 ve 23\frac{2}{3}

Cevap

Beklenen değer 33, varyans 23\frac{2}{3} olmalıdır.
Bu soruda Wiener sürecinin (Kahverengi hareket) bilinen iki noktası arasında kalan bir noktanın koşullu dağılımı sorulmaktadır, bu yapı literatürde Brownian köprüsü olarak adlandırılır. s<t<us < t < u olmak üzere, W(s)=aW(s)=a ve W(u)=bW(u)=b verildiğinde, W(t)W(t)'nin beklenen değeri a+t−su−s(b−a)a + \frac{t-s}{u-s}(b-a) ve varyansı (t−s)(u−t)u−s\frac{(t-s)(u-t)}{u-s} formülleriyle hesaplanır. Değerleri yerine koyduğumuzda beklenen değer 4+13(1−4)=34 + \frac{1}{3}(1-4) = 3, varyans ise (1)⋅(2)3=23\frac{(1) \cdot (2)}{3} = \frac{2}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin Brownian köprüsü (Brownian bridge) yapısında olduğunu belirleme.
İki bilinen durum (W(s)=aW(s)=a ve W(u)=bW(u)=b) arasında kalan W(t)W(t)'nin koşullu dağılımının bulunması gerektiği tespit edilir.
Wiener sürecinde geçmiş ve gelecek iki değer birden bilindiğinde, aradaki bir noktanın dağılımı her iki uç noktaya da aynı anda bağlıdır.
2
Koşullu beklenen değeri hesaplama.
E[W(t)∣W(s)=a,W(u)=b]=a+t−su−s(b−a)E[W(t)|W(s)=a, W(u)=b] = a + \frac{t-s}{u-s}(b-a) formülü kullanılarak E[W(3)]=4+3−25−2(1−4)=4+13(−3)=3E[W(3)] = 4 + \frac{3-2}{5-2}(1-4) = 4 + \frac{1}{3}(-3) = 3 bulunur.
Sürecin beklenen değeri, iki bilinen nokta arasında zamanla orantılı olarak doğrusal bir şekilde değişir.
3
Koşullu varyansı hesaplama.
Var(W(t)∣W(s)=a,W(u)=b)=(t−s)(u−t)u−sVar(W(t)|W(s)=a, W(u)=b) = \frac{(t-s)(u-t)}{u-s} formülü kullanılarak Var(W(3))=(3−2)(5−3)5−2=1⋅23=23Var(W(3)) = \frac{(3-2)(5-3)}{5-2} = \frac{1 \cdot 2}{3} = \frac{2}{3} bulunur.
Her iki uç noktanın bilinmesi, aradaki noktanın varyansını kısıtlar. En büyük varyans tam orta noktada görülür.

Anahtar Kavram

Wiener sürecinde Brownian köprüsü (iki nokta arası koşullu dağılım)
Bu soruyu puanla

Konular

Wiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Bu konudan daha fazla soru