Bir hastanenin acil servisine belirli bir saat diliminde gelen vaka sayısı X, \lambda para… — KPSS İstatistik

Bir hastanenin acil servisine belirli bir saat diliminde gelen vaka sayısı $X$ , $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına sahiptir. Acil servise gelen vaka sayısının ortalamasının 2 olup olmadığını test etmek amacıyla aşağıdaki hipotezler kurulmuştur:

H_0 : \lambda = 2

H_1 : \lambda = 4

Bu hipotezi test etmek için bir saatlik rastgele bir gözlem yapılıyor. Karar kuralı olarak, gözlemlenen vaka sayısının 3 veya daha fazla olması ( $X \geq 3$ ) durumunda $H_0$ hipotezinin reddedileceği belirleniyor.

Buna göre, bu hipotez testinin II. Tip Hata yapma olasılığı ( $\beta$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$13e^{-4}$ Cevap
B
$1 - 13e^{-4}$
C
$1 - 5e^{-2}$
D
$5e^{-2}$
E
$5e^{-4}$

Cevap

Bu testin II. Tip Hata yapma olasılığı

13e^{-4}

değerine eşittir.

Doğru yanıt olan

13e^{-4}

, alternatif hipotezin doğru olduğu durumda (

\lambda=4

) test istatistiğinin

H_0

'ı reddedemediği bölgeye (

X \leq 2

) düşme olasılığıdır. Poisson dağılım formülünde

\lambda=4

için

x=0, 1, 2

durumlarının olasılıkları toplandığında

e^{-4} + 4e^{-4} + 8e^{-4} = 13e^{-4}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

II. Tip Hata'nın matematiksel tanımını formüle edin.

\beta = P(H_0 \text{ reddedilemez} \mid H_1 \text{ doğru})

II. Tip Hata, gerçekte alternatif hipotez geçerliyken yanlış olan yokluk hipotezini reddedememe durumudur.

Karar kuralına göre reddedilememe (kabul) bölgesini belirleyin.

Red bölgesi

X \geq 3

olduğuna göre, reddedilememe bölgesi

X < 3

olur. Dağılım kesikli olduğundan bu durum

X \leq 2

şeklinde ifade edilir.

Olasılığı hesaplanacak olayın sınırlarını tam ve doğru olarak belirlemek için gereklidir.

Alternatif hipotezdeki parametreyi kullanarak olasılık denklemini yazın.

H_1

altında

\lambda = 4

'tür. O halde hesaplanacak olasılık

\beta = P(X \leq 2 \mid \lambda = 4)

olacaktır.

II. Tip Hata her zaman alternatif hipotezin varsayıldığı dağılım (

H_1

) üzerinden hesaplanır.

Poisson dağılımı olasılık fonksiyonunu uygulayarak değerleri toplayın.

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}

formülünde

\lambda=4

x=0, 1, 2

değerlerini yerine koyun:

P(X=0) = \frac{e^{-4} \cdot 4^0}{0!} = e^{-4}

P(X=1) = \frac{e^{-4} \cdot 4^1}{1!} = 4e^{-4}

P(X=2) = \frac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!} = 8e^{-4}

Toplam:

\beta = e^{-4} + 4e^{-4} + 8e^{-4} = 13e^{-4}

İstenen aralıktaki tüm kesikli noktaların olasılıklarının toplamı toplam hata olasılığını verir.

Anahtar Kavram

II. Tip Hata (

\beta

), alternatif hipotezin (

H_1

) parametre değeri altında test istatistiğinin red bölgesine düşmeme (kabul bölgesinde kalma) olasılığıdır.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru