Examkin

Soru

Zorluk: OrtaNeyman-Pearson Lemması

Bir trafik planlama uzmanı, belirli bir kavşaktan bir saat içinde geçen ağır vasıta sayısının λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uyduğunu varsaymaktadır. Uzman, nn saatlik gözlem sonucunda elde edilen X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemini kullanarak H0:λ=2H_0: \lambda = 2 yokluk hipotezini, H1:λ=5H_1: \lambda = 5 alternatif hipotezine karşı test etmek istemektedir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, bu test için en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisi biçimindedir?
(Burada cc, belirlenen anlamlılık düzeyine bağlı uygun bir sabittir.)

  1. A
    ∑i=1nXi<c\sum_{i=1}^n X_i < c
  2. ∑i=1nXi>c\sum_{i=1}^n X_i > cCevap
  3. C
    ∏i=1nXi>c\prod_{i=1}^n X_i > c
  4. D
    ∏i=1nXi<c\prod_{i=1}^n X_i < c
  5. E
    \left| \sum_{i=1}^n X_i - 2n \right| > c

Cevap

Ret bölgesi ∑i=1nXi>c\sum_{i=1}^n X_i > c biçimindedir.
Neyman-Pearson oran testinde ret bölgesi L(2)L(5)≤k\frac{L(2)}{L(5)} \leq k şartıyla bulunur. İfade sadeleştirildiğinde (25)∑Xi≤k∗\left(\frac{2}{5}\right)^{\sum X_i} \leq k^* elde edilir. Her iki tarafın logaritması alındığında ∑Xiln⁡(2/5)≤ln⁡(k∗)\sum X_i \ln(2/5) \leq \ln(k^*) olur. ln⁡(2/5)\ln(2/5) değeri negatif olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafı bu değere bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek ∑i=1nXi≥c\sum_{i=1}^n X_i \geq c biçimine dönüşür. Dolayısıyla en güçlü test, gözlemlerin toplamının belirli bir sabit değerden büyük olması durumunda yokluk hipotezini reddeder.

Adım Adım Çözüm

1
Poisson dağılımı için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu yazın.
L(λ)=∏i=1ne−λλxixi!=e−nλλ∑xi∏xi!L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum x_i}}{\prod x_i!}
Neyman-Pearson oranını kurabilmek için örneklemin ortak olasılık fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
Neyman-Pearson Lemması'na göre ret bölgesini tanımlayan oranı H0H_0 ve H1H_1 için kurun.
Ret bölgesi: L(λ0=2)L(λ1=5)≤k\frac{L(\lambda_0 = 2)}{L(\lambda_1 = 5)} \leq k olmalıdır.
En güçlü test, yokluk hipotezi altındaki olabilirliğin alternatif hipotez altındaki olabilirliğe oranının yeterince küçük olduğu durumlarda H0H_0'ı reddeder.
3
Oranı verilen parametre değerleri ile hesaplayıp sadeleştirin.
e−2n2∑xie−5n5∑xi=e3n(25)∑xi≤k\frac{e^{-2n} 2^{\sum x_i}}{e^{-5n} 5^{\sum x_i}} = e^{3n} \left(\frac{2}{5}\right)^{\sum x_i} \leq k
Eşitsizliği gözlem değerlerinin bir fonksiyonu (istatistik) cinsinden ifade etmek için matematiksel sadeleştirme yapılır.
4
Elde edilen eşitsizliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak ∑xi\sum x_i istatistiğini yalnız bırakın.
3n+(∑xi)ln⁡(0.4)≤ln⁡(k)3n + \left(\sum x_i\right) \ln(0.4) \leq \ln(k)
(∑xi)ln⁡(0.4)≤ln⁡(k)−3n\left(\sum x_i\right) \ln(0.4) \leq \ln(k) - 3n
Üstel ifadeden kurtulup yeterli istatistik olan ∑xi\sum x_i'yi doğrusal bir formda elde etmek için logaritma işlemi uygulanır.
5
Eşitsizliği ln⁡(0.4)\ln(0.4) değerine bölün ve eşitsizlik yönüne dikkat edin.
ln⁡(0.4)<0\ln(0.4) < 0 olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: ∑xi≥ln⁡(k)−3nln⁡(0.4)\sum x_i \geq \frac{\ln(k) - 3n}{\ln(0.4)}. Sağ taraf yeni bir cc sabiti olarak tanımlanırsa ret bölgesi ∑i=1nXi>c\sum_{i=1}^n X_i > c (veya ≥c\geq c) olur.
Negatif bir sayıya bölme işlemi eşitsizlik yönünü tersine çevirir. Bu, ret bölgesinin yönünü belirleyen en kritik adımdır.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması uyarınca olabilirlik oranı ve eşitsizlik yönünün tayini.
Bu soruyu puanla

Konular

Neyman-Pearson Lemması

Bu konudan daha fazla soru