Neyman-Pearson Lemması Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir elektronik parça üretim hattında, üretilen parçaların kusurlu olma olasılığı $p$ 'dir. Kusurlu parçalar $X=1$ , sağlam parçalar $X=0$ ile gösterilmek üzere, $n$ hacimli rastgele bir örneklem alınıyor ( $X_i \sim \text{Bernoulli}(p)$ ).

Kalite kontrol mühendisi, üretim sürecinde hata oranının artıp artmadığını kontrol etmek için;
$H_0: p = p_0$
$H_1: p = p_1$ (Burada $p_1 > p_0$ 'dır)

basit hipotezlerini test etmek istiyor.

Neyman-Pearson Lemması kullanılarak $\alpha$ anlamlılık düzeyinde oluşturulacak en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölge), örneklem ortalaması ( $\bar{X}$ ) cinsinden aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ , $\alpha$ anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen uygun bir sabiti göstermektedir.)

\bar{X} \geq c

\bar{X} \leq c

|\bar{X} - p_0| \geq c

\bar{X}(1-\bar{X}) \geq c

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \geq c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\bar{X} \geq c$

Cevap

Testin ret bölgesi, örneklem ortalamasının belirli bir sabit değerden büyük veya eşit olması durumudur (

\bar{X} \geq c

).

Neyman-Pearson Lemması'na göre ret bölgesi

L(H_0)/L(H_1) \leq k

eşitsizliğinden elde edilir. Bernoulli dağılımı için olabilirlik oranı yazılıp logaritması alındığında,

p_1 > p_0

varsayımı altında yeterli istatistik olan

\sum X_i

'nin önündeki çarpan negatif çıkmaktadır. Eşitsizliğin her iki tarafı bu negatif değere bölündüğünde eşitsizliğin yönü tersine döner ve

\sum X_i \geq c'

sonucuna ulaşılır.

\sum X_i = n\bar{X}

yerine konulduğunda ret bölgesinin

\bar{X} \geq c

olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.

L(p) = \prod_{i=1}^n p^{X_i} (1-p)^{1-X_i} = p^{\sum X_i} (1-p)^{n-\sum X_i}

Neyman-Pearson Lemması olabilirlik oranı testini temel alır.

2

Neyman-Pearson olabilirlik oranını (LR) yazmak ve

k

sabiti ile eşitsizlik kurmak.

\frac{L(p_0)}{L(p_1)} = \left( \frac{p_0}{p_1} \right)^{\sum X_i} \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right)^{n-\sum X_i} = \left( \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} \right)^{\sum X_i} \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right)^n \leq k

En güçlü (MP) test ret bölgesi,

H_0

altındaki olabilirliğin

H_1

altındaki olabilirliğe oranının belirli bir

k

sabitinden küçük veya eşit olması koşuluna dayanır.

3

Eşitsizliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak

\sum X_i

'yi yalnız bırakmaya çalışmak.

(\sum X_i) \ln \left( \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} \right) + n \ln \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right) \leq \ln k

Üstel ifadeyi doğrusal hale getirerek yeterli istatistiği (

\sum X_i

) denklemden ayrıştırmak.

4

Eşitsizliğin yönünü belirlemek üzere

\sum X_i

'nin katsayısının işaretini incelemek.

p_1 > p_0

olduğu için

\frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} < 1

'dir. Dolayısıyla bu ifadenin logaritması negatiftir. Eşitsizlik negatif katsayıya bölündüğünde yön değiştirir:

\sum X_i \geq c'

Negatif bir değere bölme veya negatif bir değerle çarpma işlemi matemetiksel olarak eşitsizliğin yönünü tersine çevirir.

5

Test istatistiğini örneklem ortalamasına (

\bar{X}

) dönüştürmek.

\sum X_i = n\bar{X}

olduğundan ifade

\bar{X} \geq \frac{c'}{n} = c

halini alır.

Soruda ret bölgesinin örneklem ortalaması (

\bar{X}

) cinsinden ifade edilmesi istenmektedir.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve En Güçlü (MP) Test

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir araştırmacı, $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{-(\theta+1)}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilen Pareto dağılımına sahip olduğunu bilmektedir. $H_0: \theta = 2$ yokluk hipotezinin, $H_1: \theta = 1$ alternatif hipotezine karşı test edilmesinde, Neyman-Pearson Lemması'na göre $\alpha$ anlamlılık düzeyindeki en güçlü (most powerful) testin ret bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? (Burada $c$ , $\alpha$ tarafından belirlenen uygun bir sabittir.)

\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c

\prod_{i=1}^{n} X_i \leq c

\sum_{i=1}^{n} X_i \geq c

\sum_{i=1}^{n} X_i \leq c

\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i} \geq c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c$

Cevap

En güçlü testin ret bölgesi, örneklem değerlerinin çarpımının belirli bir c sabitinden büyük veya eşit olmasını gerektiren ifadedir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü testin ret bölgesi

\frac{L(H_0)}{L(H_1)} \leq k

şartını sağlayan bölgedir. Pareto dağılımı için olabilirlik fonksiyonu

L(\theta) = \theta^n (\prod x_i)^{-(\theta+1)}

dir. Yerine koyduğumuzda

\frac{2^n (\prod x_i)^{-3}}{1^n (\prod x_i)^{-2}} \leq k

elde edilir. Bu ifade sadeleştirildiğinde

2^n (\prod x_i)^{-1} \leq k

veya eşdeğer olarak

\frac{2^n}{\prod x_i} \leq k

bulunur. Eşitsizliğin her iki tarafında yer değiştirme yapıldığında

\prod_{i=1}^n x_i \geq \frac{2^n}{k}

sonucuna ulaşılır.

\frac{2^n}{k}

ifadesine

c

dersek, doğru ret bölgesi

\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım için

L(\theta)

olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluştur.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{-(\theta+1)} = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{-(\theta+1)}

Neyman-Pearson oranını hesaplayabilmek için

H_0

ve

H_1

altındaki olabilirlik fonksiyonlarına ihtiyaç vardır.

2

H_0: \theta=2

ve

H_1: \theta=1

değerlerini yerlerine koyarak

L(H_0)/L(H_1) \leq k

oranını yaz.

\frac{2^n (\prod x_i)^{-3}}{1^n (\prod x_i)^{-2}} \leq k

Neyman-Pearson Lemması, en güçlü testin ret bölgesini

\frac{L(\theta_0|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} \leq k

olarak tanımlar.

3

Elde edilen eşitsizliği örneklem istatistiğini yalnız bırakacak şekilde sadeleştir.

2^n (\prod x_i)^{-1} \leq k \implies \frac{2^n}{\prod x_i} \leq k \implies \frac{2^n}{k} \leq \prod_{i=1}^n x_i

Ret bölgesini, verilerden doğrudan hesaplanabilen bir test istatistiği (

T(\mathbf{x})

) ve bir kritik değer (

c

) cinsinden ifade etmek gerekir.

4

Sabit terimleri yeni bir

c

sabiti altında toplayarak nihai ret bölgesini belirle.

\prod_{i=1}^n X_i \geq c \quad \text{(burada } c = 2^n / k \text{ dir.)}

Kritik değer

c

,

\alpha

anlamlılık düzeyine bağlı olarak dağılım üzerinden belirlenecek nihai sınırı ifade eder.

Anahtar Kavram

Basit hipotezlere karşı basit alternatif hipotezlerin test edilmesinde en güçlü testin (MP test) ret bölgesini bulmak için kullanılan teorem.

Soru 3Soru →

Bir kalite kontrol sürecinde, üretilen hassas ölçüm cihazlarının kalibrasyon hataları $N(0, \theta)$ normal dağılımına uymaktadır. Bu cihazlardan rastgele seçilen $n$ tanesinin hata payları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak ölçülmüştür.

Sürecin standart durumunda varyansın $\theta = 1$ olduğu, ancak bir makine arızası durumunda varyansın $\theta = 4$ seviyesine çıktığı bilinmektedir. Kalite kontrol uzmanı, $\alpha$ anlamlılık düzeyinde aşağıdaki basit hipotezleri test edecektir:

H_0: \theta = 1

H_1: \theta = 4

Neyman-Pearson Lemması'na göre, $H_0$ hipotezine karşı $H_1$ hipotezini test etmek için $\alpha$ anlamlılık düzeyindeki en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $\chi^2_{\nu, \alpha}$ , $\nu$ serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının üst $\alpha$ olasılıklı kritik değerini göstermektedir.)

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \geq \chi^2_{n, \alpha}

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \leq \chi^2_{n, 1-\alpha}

\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \geq \chi^2_{n-1, \alpha}

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \geq 4 \chi^2_{n, \alpha}

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \leq \chi^2_{n, \alpha}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \geq \chi^2_{n, \alpha}$

Cevap

Doğru red bölgesi, örneklem değerlerinin kareleri toplamının n serbestlik dereceli ki-kare dağılımının üst alfa kritik değerinden büyük veya eşit olması durumudur.

Doğru cevap, varyans için Neyman-Pearson olabilirlik oranı testinin eksiksiz sonucudur. Alternatif hipotezdeki varyans değeri yokluk hipotezinden büyük olduğu için, test istatistiği olan kareler toplamı (

\sum X_i^2

) büyük değerler aldığında

H_0

reddedilmelidir.

H_0

altında

X_i

'ler standart normal dağıldığı için kareleri toplamı

n

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına uyar. Test istatistiği büyük değerlerde reddedildiği için red bölgesi üst kuyruk olan

\chi^2_{n, \alpha}

değeri ile sınırlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Neyman-Pearson lemmasına göre olabilirlik oranını (

\Lambda

) kurun.

\Lambda = \frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \frac{L(4)}{L(1)} \geq k

eşitsizliği oluşturulur.

En güçlü testin red bölgesi, alternatif hipotezin olabilirlik fonksiyonunun yokluk hipotezinin olabilirlik fonksiyonuna oranının belirli bir k sabitinden büyük olmasıyla bulunur.

2

L(4)

ve

L(1)

değerlerini normal dağılım yoğunluk fonksiyonunu kullanarak yerine yazın.

\frac{(8\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{8} \sum X_i^2)}{(2\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{2} \sum X_i^2)} = 4^{-n/2} \exp\left( (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) \sum X_i^2 \right) \geq k

Red bölgesini örneklem istatistiği

\sum X_i^2

cinsinden yalnız bırakmak için fonksiyonların oranlanması gereklidir.

3

Eşitsizliği

\sum X_i^2

istatistiğini yalnız bırakacak şekilde çözün.

\exp\left(\frac{3}{8} \sum X_i^2\right) \geq k \cdot 4^{n/2} \implies \frac{3}{8} \sum X_i^2 \geq \ln(k \cdot 4^{n/2}) \implies \sum X_i^2 \geq c

bulunur.

\theta_1 = 4 > \theta_0 = 1

olduğu için, varyansın büyümesi kareler toplamının da büyük değerler almasına yol açar.

4

H_0

altındaki dağılımı kullanarak kritik değer

c

'yi belirleyin.

H_0

doğruyken (

\theta = 1

), kitle

N(0, 1)

dağılımına sahiptir. Dolayısıyla standart normal dağılımlı değişkenlerin kareleri toplamı olan

\sum X_i^2 \sim \chi^2_n

olur.

P(\chi^2_n \geq c) = \alpha

eşitliğinden

c = \chi^2_{n, \alpha}

olarak bulunur.

Red bölgesinin sınır değeri (kritik değer), I. tip hata olasılığının (

\alpha

) tam olarak testin anlamlılık düzeyine eşit olmasını sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve Normal Dağılımda Varyans Testi

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 4Soru →

Bir çevresel etki araştırmasında, bir su kaynağındaki belirli bir kirleticinin yoğunluk indeksi $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x; \theta) = \begin{cases} (\theta + 1)x^\theta, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu su kaynağının kirlilik durumu ile ilgili $H_0: \theta = 1$ basit yokluk hipotezi, $H_1: \theta = 2$ basit alternatif hipotezine karşı tek bir $X$ gözlemi kullanılarak test edilecektir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, $\alpha$ anlamlılık düzeyinde bu test için en güçlü (Most Powerful) testin ret bölgesi (kritik bölge) aşağıdakilerden hangisidir?

X \leq \sqrt{\alpha}

X \geq 1 - \alpha

X \geq \sqrt{1 - \alpha}

X \geq \sqrt[3]{1 - \alpha}

X \geq \sqrt{\alpha}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X \geq \sqrt{1 - \alpha}$

Cevap

En güçlü testin ret bölgesi

X \geq \sqrt{1 - \alpha}

şeklindedir.

Neyman-Pearson Lemması uyarınca olabilirlik oranı

\frac{f_0(x)}{f_1(x)} = \frac{2}{3x} \leq k

şeklinde oluşturulur.

x > 0

olduğu için bu eşitsizlik

x \geq c

şeklinde bir kritik bölge ifade eder.

\alpha

anlamlılık düzeyi,

H_0

altında bu bölgenin alanına eşittir:

P(X \geq c \mid \theta=1) = \int_c^1 2x \, dx = 1 - c^2 = \alpha

. Buradan

c = \sqrt{1 - \alpha}

elde edilir ve en güçlü testin ret bölgesi

X \geq \sqrt{1 - \alpha}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Neyman-Pearson Lemması'na göre olabilirlik oranını (Likelihood Ratio) oluştur.

\frac{L(H_0)}{L(H_1)} \leq k

eşitsizliği yazılır.

En güçlü (Most Powerful) testin kritik bölgesi bu eşitsizlikle tanımlanır.

2

Hipotezlerdeki parametre değerlerini olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine koyarak oranı hesapla.

H_0: \theta = 1 \implies f_0(x) = 2x

H_1: \theta = 2 \implies f_1(x) = 3x^2

\frac{2x}{3x^2} = \frac{2}{3x} \leq k

Olabilirlik oranını sadece gözlem (

x

) değerine bağlı bir istatistik haline getirmek için.

3

Eşitsizliği

x

yalnız kalacak şekilde düzenle ve ret bölgesinin yönünü belirle.

\frac{2}{3x} \leq k \implies x \geq \frac{2}{3k}

. Bu değer bir

c

sabitine eşitlendiğinde ret bölgesi

X \geq c

olur.

Ret bölgesini, test istatistiği olan

X

üzerinden doğrudan ifade edebilmek için.

4

Anlamlılık düzeyi

\alpha

'yı kullanarak

c

kritik değerini hesaplamak için integral denklemini kur.

\alpha = P(X \geq c \mid H_0) = \int_c^1 2x \, dx

I. Tip hata olasılığı (

\alpha

),

H_0

doğruyken test istatistiğinin ret bölgesine düşme olasılığıdır.

5

İntegrali hesapla ve

c

'yi

\alpha

cinsinden bul.

\int_c^1 2x \, dx = x^2 \Big|_c^1 = 1 - c^2 = \alpha \implies c^2 = 1 - \alpha \implies c = \sqrt{1 - \alpha}

. Ret bölgesi:

X \geq \sqrt{1 - \alpha}

.

Kritik değeri tam ve analitik olarak ifade ederek testi tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve Kritik Bölge Hesabı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 5Soru →

Bir $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \beta) = \begin{cases} \beta^2 x e^{-\beta x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen $n$ hacimli rastgele bir örneklem temel alınarak, $H_0: \beta = 4$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \beta = 2$ alternatif hipotezi test edilmek isteniyor.

Buna göre, $\alpha$ anlamlılık düzeyinde Neyman-Pearson Lemması'na göre belirlenen en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $\chi^2_{v, \alpha}$ , $v$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımının üst $\alpha$ kritik değerini, yani $P(\chi^2_v \geq \chi^2_{v, \alpha}) = \alpha$ sağlayan değeri göstermektedir.)

\sum_{i=1}^n X_i \geq \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{8}

\sum_{i=1}^n X_i \leq \frac{\chi^2_{4n, 1-\alpha}}{8}

\sum_{i=1}^n X_i \geq \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{4}

\prod_{i=1}^n X_i \geq k

\sum_{i=1}^n X_i \leq \frac{\chi^2_{2n, 1-\alpha}}{8}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n X_i \geq \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{8}$

Cevap

Ret bölgesi toplam gözlem değerlerinin ki-kare dağılımının üst kritik değerinin sekizde birinden büyük veya eşit olduğu bölgedir.

Neyman-Pearson oran testi kurgulandığında negatif üs nedeniyle eşitsizlik yön değiştirerek

\sum X_i \geq c

halini alır.

H_0

hipotezinde

\beta=4

alındığında toplam istatistiği

Gamma(2n, 4)

dağılır. Gamma dağılımlı bir değişkenin kendisini oran parametresinin 2 katı ile (burada

2 \times 4 = 8

) çarpmak onu tam olarak

2 \times 2n = 4n

serbestlik dereceli bir ki-kare değişkenine dönüştürür. Bu yüzden ret bölgesi,

\sum X_i

istatistiğinin üst kritik değer olan

\chi^2_{4n, \alpha}

'nın 8'e bölümünden büyük veya eşit olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu ve olabilirlik oranını (

\Lambda

) yazınız.

L(\beta) = \beta^{2n} (\prod x_i) e^{-\beta \sum x_i}

\Lambda = \frac{L(4)}{L(2)} = \frac{4^{2n} (\prod x_i) e^{-4 \sum x_i}}{2^{2n} (\prod x_i) e^{-2 \sum x_i}} = 2^{2n} e^{-2 \sum x_i} \leq k

Neyman-Pearson Lemması, en güçlü testin ret bölgesinin

L(H_0) / L(H_1) \leq k

eşitsizliği ile bulunduğunu belirtir.

2

Eşitsizliği yeterli istatistik (

\sum X_i

) yalnız kalacak şekilde düzenleyiniz.

e^{-2 \sum x_i} \leq \frac{k}{2^{2n}}

-2 \sum x_i \leq \ln\left(\frac{k}{2^{2n}}\right)

\sum x_i \geq -\frac{1}{2} \ln\left(\frac{k}{2^{2n}}\right) = c

Her iki tarafın doğal logaritmasını alıp negatif bir sayıya (-2) böldüğümüzde eşitsizliğin yönü (

\leq

iken

\geq

olur) değişir.

3

Test istatistiğinin

H_0

altındaki dağılımını bulunuz.

H_0

doğruyken (

\beta=4

),

X_i \sim Gamma(\alpha=2, \beta=4)

olur.
Örneklem toplamı

Y = \sum_{i=1}^n X_i \sim Gamma(2n, 4)

dağılımına sahiptir.

Bağımsız Gamma dağılımlı değişkenlerin toplamı, aynı ölçek parametresine (rate) sahipse şekil (shape) parametrelerinin toplamı ile yeni bir Gamma dağılımı oluşturur.

4

c

kritik değerini

\alpha

anlamlılık düzeyine ve ki-kare dağılımına bağlı olarak elde ediniz.

Gamma'dan ki-kareye dönüşüm kuralına göre

2\beta Y \sim \chi^2_{2\alpha_Y}

dir.

\beta=4

ve

\alpha_Y=2n

olduğundan,

2(4)Y = 8Y \sim \chi^2_{4n}

olur.

P(Y \geq c | H_0) = \alpha

P(8Y \geq 8c) = \alpha

8c = \chi^2_{4n, \alpha} \implies c = \frac{\chi^2_{4n, \alpha}}{8}

Kritik değeri tabloda bulunan standart bir dağılım (ki-kare) cinsinden ifade etmek için dönüşüm kullanılır.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması uyarınca Olabilirlik Oranı ve Gamma-Ki-Kare Dönüşümü

Soru 6Soru →

Bir trafik planlama uzmanı, belirli bir kavşaktan bir saat içinde geçen ağır vasıta sayısının $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uyduğunu varsaymaktadır. Uzman, $n$ saatlik gözlem sonucunda elde edilen $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini kullanarak $H_0: \lambda = 2$ yokluk hipotezini, $H_1: \lambda = 5$ alternatif hipotezine karşı test etmek istemektedir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, bu test için en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisi biçimindedir?
(Burada $c$ , belirlenen anlamlılık düzeyine bağlı uygun bir sabittir.)

\sum_{i=1}^n X_i < c

\sum_{i=1}^n X_i > c

\prod_{i=1}^n X_i > c

\prod_{i=1}^n X_i < c

\left| \sum_{i=1}^n X_i - 2n \right| > c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n X_i > c$

Cevap

Ret bölgesi

\sum_{i=1}^n X_i > c

biçimindedir.

Neyman-Pearson oran testinde ret bölgesi

\frac{L(2)}{L(5)} \leq k

şartıyla bulunur. İfade sadeleştirildiğinde

\left(\frac{2}{5}\right)^{\sum X_i} \leq k^*

elde edilir. Her iki tarafın logaritması alındığında

\sum X_i \ln(2/5) \leq \ln(k^*)

olur.

\ln(2/5)

değeri negatif olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafı bu değere bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek

\sum_{i=1}^n X_i \geq c

biçimine dönüşür. Dolayısıyla en güçlü test, gözlemlerin toplamının belirli bir sabit değerden büyük olması durumunda yokluk hipotezini reddeder.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson dağılımı için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu yazın.

L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum x_i}}{\prod x_i!}

Neyman-Pearson oranını kurabilmek için örneklemin ortak olasılık fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

Neyman-Pearson Lemması'na göre ret bölgesini tanımlayan oranı

H_0

ve

H_1

için kurun.

Ret bölgesi:

\frac{L(\lambda_0 = 2)}{L(\lambda_1 = 5)} \leq k

olmalıdır.

En güçlü test, yokluk hipotezi altındaki olabilirliğin alternatif hipotez altındaki olabilirliğe oranının yeterince küçük olduğu durumlarda

H_0

'ı reddeder.

3

Oranı verilen parametre değerleri ile hesaplayıp sadeleştirin.

\frac{e^{-2n} 2^{\sum x_i}}{e^{-5n} 5^{\sum x_i}} = e^{3n} \left(\frac{2}{5}\right)^{\sum x_i} \leq k

Eşitsizliği gözlem değerlerinin bir fonksiyonu (istatistik) cinsinden ifade etmek için matematiksel sadeleştirme yapılır.

4

Elde edilen eşitsizliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak

\sum x_i

istatistiğini yalnız bırakın.

3n + \left(\sum x_i\right) \ln(0.4) \leq \ln(k)

\left(\sum x_i\right) \ln(0.4) \leq \ln(k) - 3n

Üstel ifadeden kurtulup yeterli istatistik olan

\sum x_i

'yi doğrusal bir formda elde etmek için logaritma işlemi uygulanır.

5

Eşitsizliği

\ln(0.4)

değerine bölün ve eşitsizlik yönüne dikkat edin.

\ln(0.4) < 0

olduğundan eşitsizlik yön değiştirir:

\sum x_i \geq \frac{\ln(k) - 3n}{\ln(0.4)}

. Sağ taraf yeni bir

c

sabiti olarak tanımlanırsa ret bölgesi

\sum_{i=1}^n X_i > c

(veya

\geq c

) olur.

Negatif bir sayıya bölme işlemi eşitsizlik yönünü tersine çevirir. Bu, ret bölgesinin yönünü belirleyen en kritik adımdır.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması uyarınca olabilirlik oranı ve eşitsizlik yönünün tayini.

Soru 7Soru →

Bir araştırmacı, hassas bir ölçüm cihazındaki sapma hatalarının $X$ rastgele değişkeni ile modellendiğini ve bu değişkenin aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğunu bilmektedir:

f(x; \lambda) = \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{|x|}{\lambda}}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad \lambda > 0

Cihazın hata payı parametresini kontrol etmek amacıyla, $n$ birimlik bağımsız bir $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemi üzerinden $H_0: \lambda = 1$ yokluk hipotezi, $H_1: \lambda = 2$ alternatif hipotezine karşı test edilecektir.

Buna göre, Neyman-Pearson Lemması kullanılarak elde edilecek en güçlü (Most Powerful) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ , anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen uygun bir sabittir.)

\sum_{i=1}^n |x_i| \geq c

\sum_{i=1}^n |x_i| \leq c

\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq c

\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq c

\left| \sum_{i=1}^n x_i \right| \geq c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n |x_i| \geq c$

Cevap

En güçlü testin red bölgesi

\sum_{i=1}^n |x_i| \geq c

şeklinde ifade edilir.

Neyman-Pearson Lemması kullanılarak

\frac{L(1)}{L(2)} \leq k

oranı kurulduğunda ifadenin logaritması alınarak

-\frac{1}{2}\sum |x_i| \leq Sabit

elde edilir. İstatistiği yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde (veya negatif bir sayıyla çarpıldığında) eşitsizlik yön değiştirir ve sonuçta

\sum |x_i| \geq c

bölgesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

H_0

ve

H_1

hipotezleri altında olabilirlik (likelihood) fonksiyonlarını yazınız.

L(\lambda) = (2\lambda)^{-n} \exp\left(-\frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n |x_i|\right)

. Buna göre

L(1) = 2^{-n} \exp\left(-\sum_{i=1}^n |x_i|\right)

ve

L(2) = 4^{-n} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |x_i|\right)

elde edilir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü test bölgesi olabilirlik fonksiyonlarının oranına dayanır.

2

Neyman-Pearson red kuralını (

L(\lambda_0) / L(\lambda_1) \leq k

) oluşturunuz.

\frac{L(1)}{L(2)} = \frac{2^{-n} \exp\left(-\sum |x_i|\right)}{4^{-n} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum |x_i|\right)} = 2^n \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |x_i|\right) \leq k

Red bölgesi kuralı, yokluk hipotezinin olabilirlik değerinin, alternatif hipotezinkine oranının kritik bir eşikten küçük olmasıyla sağlanır.

3

Eşitsizliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak ifadeyi sadeleştiriniz.

n \ln(2) - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |x_i| \leq \ln(k)

. Sabit olan

n \ln(2)

değerini karşıya atarsak:

-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |x_i| \leq \ln(k) - n \ln(2)

bulunur.

Gözlemlere bağlı olan örneklem istatistiğini (

\sum |x_i|

) yalnız bırakmak için logaritmik dönüşüm gereklidir.

4

Eşitsizliğin her iki tarafını

-2

ile çarparak istatistiği yalnız bırakınız ve eşitsizliğin yönünü değiştiriniz.

Eksi ile çarpıldığından eşitsizlik yön değiştirir:

\sum_{i=1}^n |x_i| \geq -2 (\ln(k) - n \ln(2))

. Sağ taraftaki sabit ifadeye

c

dersek, red bölgesi

\sum_{i=1}^n |x_i| \geq c

olur.

Negatif bir sayıyla eşitsizliğin çarpılması/bölünmesi her zaman eşitsizliğin yön değiştirmesine neden olur.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve Red Bölgesi Yönü

Soru 8Soru →

Bir $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1$ ve $\theta > 0$ şeklinde tanımlanmıştır. Bu kitleden rastgele seçilen $n$ birimlik bir örneklem kullanılarak $H_0: \theta = 1$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = 2$ alternatif hipotezi test edilecektir. Neyman-Pearson Lemmasına göre, bu hipotez testi için en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ bir sabittir.)

\prod_{i=1}^n x_i > c

\prod_{i=1}^n x_i < c

\sum_{i=1}^n x_i > c

\sum_{i=1}^n \ln(x_i) < c

\bar{x} < c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\prod_{i=1}^n x_i > c$

Cevap

En güçlü (MP) testin red bölgesi

\prod_{i=1}^n x_i > c

şeklindedir.

Neyman-Pearson Lemmasına göre en güçlü test, yokluk hipotezinin olabilirlik fonksiyonunun alternatif hipotezin olabilirlik fonksiyonuna oranının bir sabitten küçük olduğu bölgedir. Bu problemde oran

1/(2^n \prod x_i) < k

şeklindedir. Burada çarpım terimi paydada olduğu için, oran küçüldükçe çarpım değeri büyür. Dolayısıyla red bölgesi

\prod x_i > c

formuna dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik fonksiyonlarını (Likelihood) tanımla.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n (\prod x_i)^{\theta-1}

Neyman-Pearson oranını kurmak için her iki hipotez altındaki olabilirlik fonksiyonları gereklidir.

2

H_0

ve

H_1

hipotezleri için olabilirlik değerlerini oranla.

\frac{L(H_0)}{L(H_1)} = \frac{1^n (\prod x_i)^{1-1}}{2^n (\prod x_i)^{2-1}} = \frac{1}{2^n \prod x_i}

Neyman-Pearson Lemması uyarınca MP test,

L(H_0)/L(H_1) < k

kriterine dayanır.

3

Eşitsizliği örneklem istatistiğini yalnız bırakacak şekilde düzenle.

\frac{1}{2^n \prod x_i} < k \implies 2^n \prod x_i > \frac{1}{k} \implies \prod x_i > \frac{1}{k \cdot 2^n}

Kritik bölgeyi (red bölgesini) gözlemlere dayalı bir karar kuralına dönüştürmek gerekir.

4

Sabitleri tek bir değerde birleştir.

\prod_{i=1}^n x_i > c

Karar kuralındaki tüm bilinen sabitler (n, k, 2)

c

gibi tek bir kritik değerde toplanabilir.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve Olabilirlik Oranı Testi

İpuçları

1

Neyman-Pearson Lemması'nın temel formülü olan

L(H_0)/L(H_1) < k

ifadesini yazarak başlayın.

2

H_0

altında

\theta=1

koyduğunuzda fonksiyonun

f(x)=1

(Düzgün dağılım) olduğunu,

H_1

altında ise

f(x)=2x

olduğunu fark edin.

3

Paydada yer alan

\prod x_i

terimini eşitsizliğin karşı tarafına atarken eşitsizliğin yön değiştireceğini (veya paydadaki ifadenin büyümesinin oranı küçülteceğini) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı dağılım için

\alpha = 0.05

anlamlılık düzeyinde

n=1

için kritik değeri (

c

) hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 9Soru →

Bir sinyal işleme uzmanı, radar sisteminden elde edilen gürültü genliklerinin $x > 0$ ve $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip Rayleigh dağılımına uygun olduğunu değerlendirmektedir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}

$n$ birimlik bir rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ kullanılarak $H_0: \theta = \theta_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = \theta_1$ (burada $\theta_1 > \theta_0$ dır) alternatif hipotezini test etmek için Neyman-Pearson Lemması'na göre elde edilen en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq c

\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq c

\sum_{i=1}^n x_i \geq c

\prod_{i=1}^n x_i \leq c

\sum_{i=1}^n \ln(x_i) \geq c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq c$

Cevap

En güçlü (MP) testin red bölgesi

\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq c

şeklindedir.

Neyman-Pearson Lemması uyarınca, olabilirlik oranı

\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)}

hesaplandığında, üstel terimde

\sum x_i^2

ifadesinin katsayısı

-\frac{1}{2}(\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2})

olarak bulunur.

\theta_1 > \theta_0

olduğunda

\frac{1}{\theta_0^2} > \frac{1}{\theta_1^2}

olur, dolayısıyla parantez içi pozitif, katsayının tamamı ise negatiftir. Bu negatif katsayı nedeniyle eşitsizlik yön değiştirir ve red bölgesi 'büyüktür' formuna (

\geq c

) dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1

Rayleigh dağılımı için

n

birimlik örneklemin olabilirlik fonksiyonunu yazın.

L(\theta) = \frac{\prod_{i=1}^n x_i}{\theta^{2n}} \exp\left(-\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2\theta^2}\right)

Neyman-Pearson testi,

H_0

ve

H_1

altındaki olabilirlik fonksiyonlarının oranına dayanır.

2

Olabilirlik oranını

\Lambda = \frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k

olarak kurun.

\frac{\theta_1^{2n}}{\theta_0^{2n}} \exp\left( -\frac{\sum x_i^2}{2} [\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2}] \right) \leq k

En güçlü testin kritik bölgesi bu oran üzerinden tanımlanır.

3

Sabitleri sağ tarafa toplayın ve logaritma alarak test istatistiğini yalnız bırakın.

-\frac{1}{2} (\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2}) \sum x_i^2 \leq \ln(k')

Üstel ifadeden kurtulmak ve sadece gözlemlere bağlı olan kısmı bulmak için logaritma kullanılır.

4

\theta_1 > \theta_0

bilgisini kullanarak katsayının işaretini kontrol edin ve eşitsizliği düzenleyin.

\sum x_i^2 \geq c

(çünkü

-\frac{1}{2}(\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2})

değeri negatiftir).

Negatif bir sayıya bölmek eşitsizliğin yönünü değiştirir.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve Olabilirlik Oranı Testi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, Rayleigh dağılımının

Y = X^2

dönüşümü ile üstel dağılıma (

\lambda = 1/2\theta^2

) dönüştüğü hatırlanabilir. Üstel dağılımda

\lambda

parametresi için MP testinin yönü biliniyorsa, oradan da sonuca gidilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 10Soru →

Bir kalite kontrol sürecinde, bir makinenin ürettiği parçaların kusurlu olma olasılığı $p$ parametresi ile modellenmektedir. Rastgele seçilen $n$ adet parça incelenmiş ve $X_1, X_2, \dots, X_n$ gözlemleri elde edilmiştir ( $X_i \in \{0, 1\}$ ).

$p_1 > p_0$ olduğu bilindiğine göre;
$H_0: p = p_0$
$H_1: p = p_1$

hipotezlerini test etmek için Neyman-Pearson Lemması kullanılarak oluşturulan en güçlü (most powerful) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i \geq c

\sum_{i=1}^n X_i \leq c

\sum_{i=1}^n X_i^2 \geq c

\prod_{i=1}^n X_i \geq c

\bar{X} \leq c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n X_i \geq c$

Cevap

En güçlü red bölgesi, gözlemlerin toplamının belirli bir kritik değerden büyük veya eşit olduğu durum olan

\sum X_i \geq c

şeklindedir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü test bölgesi

L(H_0)/L(H_1) \leq k

eşitsizliği ile bulunur. Bernoulli dağılımında

p_1 > p_0

olduğunda bu oran

\sum X_i

değerine bağlı olarak azalan bir yapı sergiler. Dolayısıyla oranın küçük bir değerden az olması,

\sum X_i

toplamının kritik bir değerden büyük olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood) tanımlayın.

L(p) = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}

Bernoulli dağılımına sahip

n

adet bağımsız gözlemin ortak olasılık fonksiyonu budur.

2

Neyman-Pearson oranını (

L(p_0)/L(p_1)

) kurun.

\Lambda = \frac{p_0^{\sum x_i} (1-p_0)^{n-\sum x_i}}{p_1^{\sum x_i} (1-p_1)^{n-\sum x_i}} = \left[ \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} \right]^{\sum x_i} \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right)^n

En güçlü testi bulmak için iki olabilirlik fonksiyonunun birbirine oranı incelenir.

3

Oranın monotonluğunu parametre değerlerine göre analiz edin.

p_1 > p_0 \Rightarrow \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} < 1

p_1 > p_0

olduğu için tabandaki değer 1'den küçüktür, bu da fonksiyonun

\sum x_i

değişkenine göre azalan olduğunu gösterir.

4

Red bölgesini

\Lambda \leq k

şartına göre belirleyin.

\Lambda \leq k \Rightarrow \sum X_i \geq c

Azalan bir fonksiyonun belirli bir eşik değerinden küçük olması, bağımsız değişkenin (toplamın) büyük değerler almasıyla mümkündür.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması uyarınca basit hipotezler için en güçlü test, olabilirlik oranının sabit bir değerden küçük olduğu bölgedir.

Alternatif Yöntem

Bernoulli dağılımı

p

parametresine göre Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahip bir Üstel Aile üyesidir.

p

arttıkça olabilirlik oranı

\sum X_i

istatistiğine göre monoton olarak arttığından (veya

L(H_0)/L(H_1)

azaldığından), en güçlü testin red bölgesi doğrudan

\sum X_i \geq c

olarak söylenebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 11Soru →

Bir araştırma kapsamında incelenen ve $\theta > 0$ parametreli üstel dağılıma ( $f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, \quad x > 0$ ) sahip olan bir kitle üzerinden $X$ şeklinde tek bir gözlem yapılmıştır. $H_0: \theta = \theta_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = \theta_1$ (burada $\theta_1 > \theta_0$ ) alternatif hipotezini test etmek amacıyla Neyman-Pearson Lemması kullanılarak oluşturulan en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

x \leq c

x \geq c

e^x \geq c

x = c

x^2 \leq c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x \leq c$

Cevap

En güçlü testin red bölgesi

x \leq c

formundadır.

Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü test,

\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k

şartını sağlayan bölgedir. Üstel dağılım için bu oran

\frac{\theta_0}{\theta_1} e^{(\theta_1 - \theta_0)x} \leq k

halini alır.

\theta_1 > \theta_0

olduğu için

(\theta_1 - \theta_0)

pozitiftir ve logaritma alındığında

x

değişkeninin yönü 'küçüktür' (

x \leq c

) şeklinde kalır. Sezgisel olarak, büyük bir

\theta

parametresi daha küçük gözlem değerleri üretme eğilimindedir, bu yüzden küçük değerler alternatif hipotezi işaret eder.

Adım Adım Çözüm

1

Yokluk ve alternatif hipotezler altında olabilirlik fonksiyonlarını yazın.

L(\theta_0) = \theta_0 e^{-\theta_0 x}

ve

L(\theta_1) = \theta_1 e^{-\theta_1 x}

Neyman-Pearson Lemması olabilirlik oranının kullanılmasını gerektirir.

2

Olabilirlik oranını (

k

sabitine göre) oluşturun.

\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} = \frac{\theta_0 e^{-\theta_0 x}}{\theta_1 e^{-\theta_1 x}} \leq k

En güçlü testin kritik bölgesi bu oranın belirli bir eşik değerinden küçük olduğu bölgedir.

3

Eşitsizliği

x

değişkeni için sadeleştirin.

\frac{\theta_0}{\theta_1} e^{(\theta_1 - \theta_0)x} \leq k \Rightarrow e^{(\theta_1 - \theta_0)x} \leq k' \Rightarrow (\theta_1 - \theta_0)x \leq \ln(k')

Üstel ifadeleri sadeleştirmek için her iki tarafın logaritması alınır.

4

\theta_1 > \theta_0

bilgisini kullanarak nihai yönü belirleyin.

x \leq \frac{\ln(k')}{\theta_1 - \theta_0} = c

\theta_1 - \theta_0 > 0

olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması'na göre basit hipotezler için en güçlü test, olabilirlik oranının (

L(H_0)/L(H_1)

) bir eşik değerinden küçük olduğu bölgeyi esas alır.

İpuçları

1

Neyman-Pearson Lemması'nın temel formülü olan

\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k

yapısını hatırlayın.

2

Üstel dağılımın beklenen değerinin

1/\theta

olduğunu düşünün. Eğer alternatif hipotezdeki

\theta

daha büyükse, beklenen değer hakkında ne söylenebilir?

3

Olabilirlik oranını yazdıktan sonra her iki tarafın doğal logaritmasını (ln) alarak

x

değerini yalnız bırakın ve

\theta_1 - \theta_0

farkının işaretine dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Aynı soruyu

\theta_1 < \theta_0

durumu için çözerek red bölgesinin yönünün nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Bir araştırmacı, elindeki veri setini kullanarak basit bir yokluk hipotezi ( $H_0: \theta = \theta_0$ ) ile basit bir alternatif hipotezi ( $H_1: \theta = \theta_1$ ) karşılaştırmak için en güçlü (most powerful) testi kurmak istemektedir. Bu amaçla Neyman-Pearson Lemması'nı kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, yokluk hipotezi altındaki olabilirlik fonksiyonu $L(\theta_0)$ ve alternatif hipotez altındaki olabilirlik fonksiyonu $L(\theta_1)$ ile gösterilmek üzere; bu test için tanımlanacak en güçlü red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k

\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \geq k

L(\theta_0) - L(\theta_1) \leq k

\frac{\partial}{\partial \theta} \ln L(\theta) = 0

P(H_0 \text{ doğru} | x) \leq \alpha

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k$

Cevap

En güçlü red bölgesi, yokluk hipotezi altındaki olabilirliğin alternatif hipotez altındaki olabilirliğe oranının belirli bir

k

sabitinden küçük veya eşit olduğu bölgedir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, belirli bir

\alpha

anlamlılık düzeyinde en güçlü test, olabilirlik oranının (

L_0/L_1

) bir eşik değerden (

k

) küçük olduğu durumları red bölgesine dahil ederek elde edilir. Bu yaklaşım, verilen anlamlılık düzeyinde testin gücünü (

1-\beta

) en üst seviyeye çıkarır.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotez türlerinin belirlenmesi

Basit yokluk (

H_0

) ve basit alternatif (

H_1

) hipotezleri tanımlanmıştır.

Neyman-Pearson Lemması sadece basit hipotezlerin karşılaştırılmasında en güçlü testi garanti eder.

2

Olabilirlik oranının (Likelihood Ratio) kurulması

\Lambda = \frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)}

oranı oluşturulur.

Lemmanın temel matematiksel yapısı, iki olabilirlik fonksiyonunun birbirine kıyaslanmasına dayanır.

3

Red bölgesi eşitsizliğinin belirlenmesi

\Lambda \leq k

eşitsizliği uygulanır.

Bu bölge, verilerin

H_1

altında gerçekleşme olasılığının

H_0

altına göre çok daha yüksek olduğu alanı temsil eder ve testin gücünü maksimize eder.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve Olabilirlik Oranı Testi

Daha Fazla Pratik

Bu lemmayı kullanarak Normal dağılımda ortalama testi için red bölgesinin

\bar{x} > c

formunda olduğunu ispatlamaya çalışın.

Tahmini Süre:45s

Soru 13Soru →

Başarı olasılığı $p$ olan bir Bernoulli sürecinde, ilk başarının gözlemlendiği deneme sayısını gösteren $X$ rastgele değişkeni $P(X=x) = (1-p)^{x-1}p, \quad x=1, 2, \dots$ olasılık fonksiyonuna sahiptir. Bu kitleye ait tek bir $X$ gözlemi ile $H_0: p = 0,5$ yokluk hipotezine karşı $H_1: p = 0,2$ alternatif hipotezi test edilmektedir. Neyman-Pearson Lemması'na göre, bu hipotez testi için en güçlü (MP) testin red bölgesinin biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

x \geq c

x \leq c

x = c

x < 1

0 \leq x \leq c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x \geq c$

Cevap

x \geq c

biçimindeki red bölgesidir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre red bölgesi

\frac{L(x; \theta_0)}{L(x; \theta_1)} \leq k

formundadır. Geometrik dağılımda başarı olasılığı

p

azaldığında (

0,5 \rightarrow 0,2

), olabilirlik oranı

x

değişkeninin artan bir fonksiyonu değil, azalan bir fonksiyonu olur. Bu durumda oran

k

değerinden küçük olduğunda

x

değeri belirli bir

c

kritik değerinden büyük veya eşit olmalıdır. Bu nedenle en güçlü testin red bölgesi

x \geq c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Yokluk ve alternatif hipotezler altında olabilirlik fonksiyonlarını yazın.

L(x; p=0,5) = 0,5^x

ve

L(x; p=0,2) = 0,8^{x-1} \cdot 0,2

Neyman-Pearson Lemması olabilirlik oranının hesaplanmasını gerektirir.

2

Olabilirlik oranını (

L_0 / L_1

) oluşturun.

\frac{L(x; 0,5)}{L(x; 0,2)} = \frac{0,5^x}{0,8^{x-1} \cdot 0,2} = \frac{0,5 \cdot 0,5^{x-1}}{0,2 \cdot 0,8^{x-1}} = 2,5 \cdot (0,625)^{x-1}

Test istatistiğinin gözlem değerine göre nasıl değiştiğini belirlemek gerekir.

3

Oranı

k

sabitine göre düzenleyerek red bölgesini belirleyin.

2,5 \cdot (0,625)^{x-1} \leq k \implies (0,625)^{x-1} \leq k'

ve

0,625 < 1

olduğundan

x \geq c

elde edilir.

Olabilirlik oranı

x

ile ters orantılıdır, bu yüzden oran küçüldükçe

x

değeri büyür.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması'na göre basit hipotezler için en güçlü test, olabilirlik oranının (

L_0/L_1

) belirli bir eşik değerinden küçük olduğu bölgedir.

Alternatif Yöntem

Mantıksal olarak, başarı olasılığı

p=0,2

olan bir kitlede ilk başarıyı elde etmek için gereken deneme sayısının,

p=0,5

olan kitleye göre daha yüksek olması beklenir. Bu nedenle, gözlemlenen

x

değerinin çok büyük olması

H_0

hipotezinden uzaklaşıp

H_1

lehine karar vermeyi gerektirir, bu da bizi doğrudan

x \geq c

sonucuna götürür.

Tahmini Süre:45s

Soru 14Soru →

Bir $X$ rastgele değişkeninin $H_0$ ve $H_1$ basit hipotezleri altındaki olasılık fonksiyonları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$P(X=x \mid H_0)$	$P(X=x \mid H_1)$
1	$0{}05$	$0{}50$
2	$0{}10$	$0{}20$
3	$0{}85$	$0{}30$

Buna göre, anlamlılık düzeyi $\alpha = 0{}05$ olan en güçlü (MP) testin reddetme bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{1\}

\{2\}

\{3\}

\{1, 2\}

\{2, 3\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{1\}

Cevap

En güçlü reddetme bölgesi {1} kümesidir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, basit hipotezleri test ederken en güçlü test, olabilirlik oranının (

L(H_0)/L(H_1)

) en küçük olduğu değerlerden başlanarak kurulur. Tablodaki verilere göre

x=1

için bu oran

0{}10

ile en küçüktür. Ayrıca

x=1

değerinin

H_0

hipotezi altındaki olasılığı (

0{}05

), tam olarak istenen

\alpha=0{}05

anlamlılık düzeyine eşittir. Bu nedenle reddetme bölgesi

\{1\}

olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir gözlem değeri için olabilirlik oranlarını (

L(H_0)/L(H_1)

) hesaplayın.

x=1

için

0{}05 / 0{}50 = 0{}10

;

x=2

için

0{}10 / 0{}20 = 0{}50

;

x=3

için

0{}85 / 0{}30 \approx 2{}83

Neyman-Pearson Lemması, reddetme bölgesinin en düşük olabilirlik oranlarına sahip değerlerden oluştuğunu belirtir.

2

Hesaplanan oranları küçükten büyüğe sıralayın.

x=1

(oran:

0{}10

) <

x=2

(oran:

0{}50

) <

x=3

(oran:

2{}83

)

Sıralama, reddetme bölgesine eklenecek adayların önceliğini belirler.

3

Anlamlılık düzeyi

\alpha = 0{}05

şartını sağlayan en küçük oranlı kümeyi seçin.

P(X=1 \mid H_0) = 0{}05

olduğu için

\{1\}

kümesi tam olarak

\alpha

değerini sağlar.

Reddetme bölgesinin

H_0

altındaki olasılığı (I. tip hata), anlamlılık düzeyine eşit veya ondan küçük olmalıdır.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve Olabilirlik Oranı (Likelihood Ratio)

Tahmini Süre:45s

Soru 15Soru →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılıma sahip bir kitleden alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklem olsun. Kitleye ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0, \theta > 0

$H_0: \theta = \theta_0$ basit yokluk hipotezinin, $H_1: \theta = \theta_1$ ( $\theta_1 < \theta_0$ ) basit alternatif hipotezine karşı test edilmesi istenmektedir.

Buna göre, Neyman-Pearson Lemması kullanılarak elde edilecek en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisi biçimindedir? (Burada $c$ , belirlenen anlamlılık düzeyine bağlı olarak hesaplanan bir sabittir.)

\sum_{i=1}^{n} X_i \leq c

\sum_{i=1}^{n} X_i \geq c

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \leq c

\left| \sum_{i=1}^{n} X_i - n\theta_0 \right| \geq c

\prod_{i=1}^{n} X_i \leq c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^{n} X_i \leq c$

Cevap

En güçlü (MP) testin ret bölgesi, gözlemlerin toplamının belirli bir

c

sabitinden küçük veya eşit olmasını ifade eden

\sum_{i=1}^{n} X_i \leq c

eşitsizliğidir.

Neyman-Pearson Lemmasına göre en güçlü test,

\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} \geq k

koşulu ile verilir. Üstel dağılımda bu oran logaritma alındığında negatif işaretli bir katsayıya sahip

\sum X_i

terimini ortaya çıkarır.

\theta_1 < \theta_0

olduğundan,

\sum X_i

istatistiğini yalnız bırakmak için negatif bir sayıya bölme işlemi yapılır. Bu da 'büyük eşittir' olan koşulun yön değiştirerek 'küçük eşittir' (

\sum X_i \leq c

) formuna dönüşmesini sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood function) her iki hipotez durumu için yazın.

L(\theta) = \theta^{-n} \exp\left(-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i\right)

elde edilir.

Neyman-Pearson Lemması, hipotez testlerinde en güçlü bölgeyi bulmak için olabilirlik fonksiyonlarının oranını temel alır.

2

Neyman-Pearson Lemmasına göre olabilirlik oranını kurgulayıp

k

sabitiyle karşılaştırın.

\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \frac{\theta_1^{-n} \exp\left(-\frac{1}{\theta_1} \sum X_i\right)}{\theta_0^{-n} \exp\left(-\frac{1}{\theta_0} \sum X_i\right)} \geq k

eşitsizliği yazılır.

Lemma, alternatif hipotezin olabilirlik değerinin yokluk hipotezine oranının kritik bir eşiği aşması durumunda H0'ın reddedilmesi gerektiğini söyler.

3

Oran ifadesini sadeleştirip logaritma alarak eşitsizliği

\sum X_i

yalnız kalacak şekilde düzenleyin.

-\sum X_i \left(\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_0}\right) \geq \ln k - n \ln\left(\frac{\theta_0}{\theta_1}\right)

ifadesine ulaşılır.

Test istatistiği olarak kullanacağımız yeterli istatistiği (gözlemlerin toplamını) diğer sabitlerden ayırmak gereklidir.

4

Eşitsizliğin yönünü belirlemek için katsayının işaretini inceleyin.

Verilen

\theta_1 < \theta_0

şartı nedeniyle

\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_0} > 0

olur. Önünde eksi işareti olduğu için katsayı negatiftir. Her iki taraf negatife bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve

\sum X_i \leq c

elde edilir.

Eşitsizlik kurallarında negatif bir değere bölme veya çarpma işlemi, büyüktür işaretini küçüktür işaretine dönüştürür.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ret bölgesi hesabı ve olabilirlik oranı testlerinde eşitsizlik yönünün belirlenmesi.

Soru 16Soru →

Bir finansal risk analisti, belirli bir yatırım portföyündeki varlıkların günlük getiri oranlarının (0 ile 1 arasında ölçeklendirilmiş) olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

ile modellendiğini varsaymaktadır.

Analist, bağımsız $n$ günlük rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) kullanarak, $\theta$ parametresi için $H_0: \theta = 1$ yokluk hipotezini, $H_1: \theta = 2$ alternatif hipotezine karşı test edecektir.

Neyman-Pearson lemmasına göre, bu test için en güçlü (en iyi) kritik bölge (red bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ sabit bir reel sayıdır.)

\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c

\prod_{i=1}^{n} X_i \leq c

\sum_{i=1}^{n} X_i \geq c

\sum_{i=1}^{n} X_i \leq c

\sum_{i=1}^{n} \ln(X_i) \leq c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c$

Cevap

Test için en güçlü kritik bölge

\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c

şeklinde ifade edilir.

Neyman-Pearson lemmasına göre en güçlü testin red bölgesi

\frac{L(H_1)}{L(H_0)} \geq k

şartı ile bulunur. Verilen dağılım için

L(2) = 2^n \prod_{i=1}^n X_i

ve

L(1) = 1

'dir. Bu iki ifade oranlandığında

2^n \prod_{i=1}^n X_i \geq k

eşitsizliği elde edilir. Eşitsizliğin iki tarafı

2^n

değerine bölündüğünde, sağ taraf yeni bir sabit değere (

c

) dönüşür ve sonuç

\prod_{i=1}^n X_i \geq c

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

H_0

ve

H_1

hipotezleri için olabilirlik (likelihood) fonksiyonlarını oluşturun.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \theta^n \prod_{i=1}^n X_i^{\theta-1}

olmak üzere;

L(1) = 1

ve

L(2) = 2^n \prod_{i=1}^n X_i

bulunur.

Neyman-Pearson lemması, testin gücünü maksimize etmek için iki hipotez altındaki olabilirlik fonksiyonlarının oranını kullanır.

2

Neyman-Pearson lemmasına göre red bölgesi eşitsizliğini kurun.

Red bölgesi:

\frac{L(H_1)}{L(H_0)} \geq k

olmalıdır.

En güçlü test, alternatif hipotezin (H1) yokluk hipotezine (H0) göre nispeten daha olası olduğu durumlarda H0'ı reddeder.

3

Eşitsizliği sadeleştirerek örneklem istatistiğini yalnız bırakın.

\frac{2^n \prod_{i=1}^n X_i}{1} \geq k \implies \prod_{i=1}^n X_i \geq \frac{k}{2^n}

elde edilir. Sağ taraf sabit olduğundan bu değere

c

diyebiliriz:

\prod_{i=1}^n X_i \geq c

.

Test istatistiği olarak gözlemlerin çarpımı üzerinden daha pratik bir karar kuralı elde edilir.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve En Güçlü Test

Soru 17Soru →

Bir sismolog, belirli bir fay hattındaki mikro depremlerin sismik enerji salınımlarının logaritmik dönüşümünü incelemektedir. Bu dönüşüm değerlerinin, ortalaması $0$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir normal dağılıma ( $N(0, \sigma^2)$ ) uyduğu kabul edilmektedir.

Sismolog, bölgedeki tektonik hareketliliğin arttığına dair şüpheleri üzerine, sismik enerji salınımlarındaki varyansın yükseldiğini test etmek istemektedir. Bunun için rastgele seçilen $n$ bağımsız mikro depreme ait ölçümler ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alınmıştır.

Sismolog, $H_0: \sigma^2 = 1$ yokluk hipotezini, $H_1: \sigma^2 = 4$ alternatif hipotezine karşı $\alpha$ anlamlılık düzeyinde test edecektir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, bu test için en güçlü (MP) testin red bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir? ( $k^*$ , $k_1$ ve $k_2$ testin anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen sabitlerdir.)

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k^*

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 < k^*

\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 > k^*

\sum_{i=1}^{n} X_i > k^*

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 < k_1 \text{ veya } \sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k_2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k^*$

Cevap

En güçlü testin red bölgesi

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k^*

şeklindedir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü testin red bölgesi

L(H_0) / L(H_1) \leq k

eşitsizliği ile bulunur.

H_0: \sigma^2 = 1

ve

H_1: \sigma^2 = 4

hipotezleri için olabilirlik oranı hesaplanıp logaritması alındığında

-\frac{3}{8} \sum X_i^2 \leq c

şekline dönüşür. Bu eşitsizlikte

\sum X_i^2

'yi yalnız bırakmak için her iki taraf negatif bir sayı olan

-\frac{3}{8}

'e bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek

\sum X_i^2 > k^*

nihai halini alır.

Adım Adım Çözüm

1

H_0

ve

H_1

hipotezleri için olabilirlik (likelihood) fonksiyonlarını oluşturun.

L(1) = (2\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{2} \sum X_i^2)

ve

L(4) = (8\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{8} \sum X_i^2)

Neyman-Pearson Lemması'nı uygulamak için her iki durumdaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonlarına (olabilirlik) ihtiyaç vardır.

2

Olabilirlik oranını (

LR = L(H_0) / L(H_1)

) hesaplayın.

LR = \frac{(2\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{2} \sum X_i^2)}{(8\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{8} \sum X_i^2)} = 4^{n/2} \exp(-\frac{3}{8} \sum X_i^2)

En güçlü testin red bölgesi, olabilirlik oranının belirli bir

k

sabitinden küçük veya eşit olması kuralına dayanır.

3

Neyman-Pearson eşitsizliğini (

LR \leq k

) çözerek

\sum X_i^2

terimini yalnız bırakın.

Her iki tarafın doğal logaritması alındığında:

\frac{n}{2}\ln(4) - \frac{3}{8} \sum X_i^2 \leq \ln(k)

. Buradan

-\frac{3}{8} \sum X_i^2 \leq c

(burada

c

bir sabittir) elde edilir.

Test istatistiğini örneklem değerleri cinsinden daha sade bir eşitsizlik formuna dönüştürmek gerekir.

4

Eşitsizliği negatif katsayıdan kurtararak red bölgesinin nihai formunu belirleyin.

Eşitsizliğin her iki tarafı

-\frac{8}{3}

ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir:

\sum X_i^2 \geq k^*

. Dağılım sürekli olduğu için kritik bölge

\sum X_i^2 > k^*

olarak yazılır.

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde/çarpıldığında eşitsizlik kuralları gereği yön değiştirir.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması (Basit Hipotezlere Karşı Basit Hipotezler)

Neyman-Pearson Lemması

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar