Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorNeyman-Pearson Lemması

Bir kalite kontrol sürecinde, üretilen hassas ölçüm cihazlarının kalibrasyon hataları N(0,θ)N(0, \theta) normal dağılımına uymaktadır. Bu cihazlardan rastgele seçilen nn tanesinin hata payları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak ölçülmüştür.

Sürecin standart durumunda varyansın θ=1\theta = 1 olduğu, ancak bir makine arızası durumunda varyansın θ=4\theta = 4 seviyesine çıktığı bilinmektedir. Kalite kontrol uzmanı, α\alpha anlamlılık düzeyinde aşağıdaki basit hipotezleri test edecektir:

H0:θ=1H_0: \theta = 1
H1:θ=4H_1: \theta = 4

Neyman-Pearson Lemması'na göre, H0H_0 hipotezine karşı H1H_1 hipotezini test etmek için α\alpha anlamlılık düzeyindeki en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: χν,α2\chi^2_{\nu, \alpha}, ν\nu serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının üst α\alpha olasılıklı kritik değerini göstermektedir.)

  1. ∑i=1nXi2≥χn,α2\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \geq \chi^2_{n, \alpha}Cevap
  2. B
    ∑i=1nXi2≤χn,1−α2\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \leq \chi^2_{n, 1-\alpha}
  3. C
    ∑i=1n(Xi−Xˉ)2≥χn−1,α2\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \geq \chi^2_{n-1, \alpha}
  4. D
    ∑i=1nXi2≥4χn,α2\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \geq 4 \chi^2_{n, \alpha}
  5. E
    ∑i=1nXi2≤χn,α2\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \leq \chi^2_{n, \alpha}

Cevap

Doğru red bölgesi, örneklem değerlerinin kareleri toplamının n serbestlik dereceli ki-kare dağılımının üst alfa kritik değerinden büyük veya eşit olması durumudur.
Doğru cevap, varyans için Neyman-Pearson olabilirlik oranı testinin eksiksiz sonucudur. Alternatif hipotezdeki varyans değeri yokluk hipotezinden büyük olduğu için, test istatistiği olan kareler toplamı (∑Xi2\sum X_i^2) büyük değerler aldığında H0H_0 reddedilmelidir. H0H_0 altında XiX_i'ler standart normal dağıldığı için kareleri toplamı nn serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına uyar. Test istatistiği büyük değerlerde reddedildiği için red bölgesi üst kuyruk olan χn,α2\chi^2_{n, \alpha} değeri ile sınırlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Neyman-Pearson lemmasına göre olabilirlik oranını (Λ\Lambda) kurun.
Λ=L(θ1)L(θ0)=L(4)L(1)≥k\Lambda = \frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \frac{L(4)}{L(1)} \geq k eşitsizliği oluşturulur.
En güçlü testin red bölgesi, alternatif hipotezin olabilirlik fonksiyonunun yokluk hipotezinin olabilirlik fonksiyonuna oranının belirli bir k sabitinden büyük olmasıyla bulunur.
2
L(4)L(4) ve L(1)L(1) değerlerini normal dağılım yoğunluk fonksiyonunu kullanarak yerine yazın.
(8π)−n/2exp⁡(−18∑Xi2)(2π)−n/2exp⁡(−12∑Xi2)=4−n/2exp⁡((12−18)∑Xi2)≥k\frac{(8\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{8} \sum X_i^2)}{(2\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{2} \sum X_i^2)} = 4^{-n/2} \exp\left( (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) \sum X_i^2 \right) \geq k
Red bölgesini örneklem istatistiği ∑Xi2\sum X_i^2 cinsinden yalnız bırakmak için fonksiyonların oranlanması gereklidir.
3
Eşitsizliği ∑Xi2\sum X_i^2 istatistiğini yalnız bırakacak şekilde çözün.
exp⁡(38∑Xi2)≥k⋅4n/2  ⟹  38∑Xi2≥ln⁡(k⋅4n/2)  ⟹  ∑Xi2≥c\exp\left(\frac{3}{8} \sum X_i^2\right) \geq k \cdot 4^{n/2} \implies \frac{3}{8} \sum X_i^2 \geq \ln(k \cdot 4^{n/2}) \implies \sum X_i^2 \geq c bulunur.
θ1=4>θ0=1\theta_1 = 4 > \theta_0 = 1 olduğu için, varyansın büyümesi kareler toplamının da büyük değerler almasına yol açar.
4
H0H_0 altındaki dağılımı kullanarak kritik değer cc'yi belirleyin.
H0H_0 doğruyken (θ=1\theta = 1), kitle N(0,1)N(0, 1) dağılımına sahiptir. Dolayısıyla standart normal dağılımlı değişkenlerin kareleri toplamı olan ∑Xi2∼χn2\sum X_i^2 \sim \chi^2_n olur. P(χn2≥c)=αP(\chi^2_n \geq c) = \alpha eşitliğinden c=χn,α2c = \chi^2_{n, \alpha} olarak bulunur.
Red bölgesinin sınır değeri (kritik değer), I. tip hata olasılığının (α\alpha) tam olarak testin anlamlılık düzeyine eşit olmasını sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve Normal Dağılımda Varyans Testi
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Neyman-Pearson Lemması

Bu konudan daha fazla soru