Examkin

Soru

Zorluk: ZorNeyman-Pearson Lemması

Bir araştırmacı, X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f(x;θ)={θx−(θ+1),x≥10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{-(\theta+1)}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilen Pareto dağılımına sahip olduğunu bilmektedir. H0:θ=2H_0: \theta = 2 yokluk hipotezinin, H1:θ=1H_1: \theta = 1 alternatif hipotezine karşı test edilmesinde, Neyman-Pearson Lemması'na göre α\alpha anlamlılık düzeyindeki en güçlü (most powerful) testin ret bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? (Burada cc, α\alpha tarafından belirlenen uygun bir sabittir.)

  1. ∏i=1nXi≥c\prod_{i=1}^{n} X_i \geq cCevap
  2. B
    ∏i=1nXi≤c\prod_{i=1}^{n} X_i \leq c
  3. C
    ∑i=1nXi≥c\sum_{i=1}^{n} X_i \geq c
  4. D
    ∑i=1nXi≤c\sum_{i=1}^{n} X_i \leq c
  5. E
    ∑i=1n1Xi≥c\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i} \geq c

Cevap

En güçlü testin ret bölgesi, örneklem değerlerinin çarpımının belirli bir c sabitinden büyük veya eşit olmasını gerektiren ifadedir.
Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü testin ret bölgesi L(H0)L(H1)≤k\frac{L(H_0)}{L(H_1)} \leq k şartını sağlayan bölgedir. Pareto dağılımı için olabilirlik fonksiyonu L(θ)=θn(∏xi)−(θ+1)L(\theta) = \theta^n (\prod x_i)^{-(\theta+1)} dir. Yerine koyduğumuzda 2n(∏xi)−31n(∏xi)−2≤k\frac{2^n (\prod x_i)^{-3}}{1^n (\prod x_i)^{-2}} \leq k elde edilir. Bu ifade sadeleştirildiğinde 2n(∏xi)−1≤k2^n (\prod x_i)^{-1} \leq k veya eşdeğer olarak 2n∏xi≤k\frac{2^n}{\prod x_i} \leq k bulunur. Eşitsizliğin her iki tarafında yer değiştirme yapıldığında ∏i=1nxi≥2nk\prod_{i=1}^n x_i \geq \frac{2^n}{k} sonucuna ulaşılır. 2nk\frac{2^n}{k} ifadesine cc dersek, doğru ret bölgesi ∏i=1nXi≥c\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılım için L(θ)L(\theta) olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluştur.
L(θ)=∏i=1nθxi−(θ+1)=θn(∏i=1nxi)−(θ+1)L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{-(\theta+1)} = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{-(\theta+1)}
Neyman-Pearson oranını hesaplayabilmek için H0H_0 ve H1H_1 altındaki olabilirlik fonksiyonlarına ihtiyaç vardır.
2
H0:θ=2H_0: \theta=2 ve H1:θ=1H_1: \theta=1 değerlerini yerlerine koyarak L(H0)/L(H1)≤kL(H_0)/L(H_1) \leq k oranını yaz.
2n(∏xi)−31n(∏xi)−2≤k\frac{2^n (\prod x_i)^{-3}}{1^n (\prod x_i)^{-2}} \leq k
Neyman-Pearson Lemması, en güçlü testin ret bölgesini L(θ0∣x)L(θ1∣x)≤k\frac{L(\theta_0|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} \leq k olarak tanımlar.
3
Elde edilen eşitsizliği örneklem istatistiğini yalnız bırakacak şekilde sadeleştir.
2n(∏xi)−1≤k  ⟹  2n∏xi≤k  ⟹  2nk≤∏i=1nxi2^n (\prod x_i)^{-1} \leq k \implies \frac{2^n}{\prod x_i} \leq k \implies \frac{2^n}{k} \leq \prod_{i=1}^n x_i
Ret bölgesini, verilerden doğrudan hesaplanabilen bir test istatistiği (T(x)T(\mathbf{x})) ve bir kritik değer (cc) cinsinden ifade etmek gerekir.
4
Sabit terimleri yeni bir cc sabiti altında toplayarak nihai ret bölgesini belirle.
∏i=1nXi≥c(burada c=2n/k dir.)\prod_{i=1}^n X_i \geq c \quad \text{(burada } c = 2^n / k \text{ dir.)}
Kritik değer cc, α\alpha anlamlılık düzeyine bağlı olarak dağılım üzerinden belirlenecek nihai sınırı ifade eder.

Anahtar Kavram

Basit hipotezlere karşı basit alternatif hipotezlerin test edilmesinde en güçlü testin (MP test) ret bölgesini bulmak için kullanılan teorem.
Bu soruyu puanla

Konular

Neyman-Pearson Lemması

Bu konudan daha fazla soru